当x=1时,级数发散;当x=-1时,级数收敛。所以收敛范围是 D=[-1)。 (9) 1 级数的收敛半径为R=1 当x=±1时,级数发散,所以收敛范围是D=(-1)。 (10) m5+ 设级数的x"项的系数为an,则 (n≥4) 所以级数的收敛半径为R=1。 当x=±1时,级数的通项不趋于零,级数发散。所以收敛范围是 D=(-1,1)。 2.求下列函数在x0=0的 Taylor展开 至 (2)emx至 3) In cos x至 (),+x至x 解(1) =1+(x-10 1+-x2+-x (2) en x=1+sin x+sin x+=sin'x+sin*x+当 x = 1时，级数发散；当 x = −1时，级数收敛。所以收敛范围是 D = [−1,1)。 （9） 1 ln 1 x x + − [ ] 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 = + x − − x 1 1 1 ( 1) 1 2 n n n n x x n n ∞ − = ⎡ − ⎤ = + = 2 1 0 2 1 1 + ∞ = ∑ + n n x n ⎢ ⎥ 。 ⎣ ⎦ ∑ 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （10） x x − − 1 e ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ − = 0 ! 0 ( ) n n n n x n x n n n x n ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + − + 2 ! ( 1) 4! 1 3! 1 2! 1 1 " 。 设级数的 xn项的系数为an ，则 2! 1 3! 1 2! 1 − < an < (n ≥ 4)， 所以级数的收敛半径为R = 1。 当 时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是 。 x = ±1 D = (−1,1) 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 x 4 ； ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 解 (1) = x x sin = − 3 + 5 −" 120 1 6 1 x x x x 2 4 1 1 1 1 6 120 x x ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ " 1 1 2 4 1 6 120 x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ " 2 1 1 2 4 6 120 x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ " " 1 7 2 4 1 6 360 = + x + x +"。 (2) sin x e = + x + 2 x + 3 x + sin 4 x +" 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin 3