两式相减得(b)-f(a) (b-a)((+ro)2mr"(c,其中 10、设f(x)在a,b存在n+1阶导数,且满足f(a)=f(b)=0,k=0,1,…,n。 证明:3∈[a,b使f(2)=fm( 证:n=0时,令h(x)=exf(x),则h(x)=e(f(x)-f(x),因h(a)=h(b)=0 所以∈[{ab]使f()=f(5) 0时,令g(x)=∑/“(x),则g(a)=g(b)=0。故5∈[ab使g(5)=g(5 又因g(x)-g(x)=f(x)-f(m(x),故()=fm(2) l、设P(x)是n次多项式,a>0,a≠0,求证:方程a2+P(x)=0,至多有n+1个 不同的实根。 证:(反证)应用罗尔定理,并注意到(a2+P(x)+)=a(ha)"1≠0 12、设0<a<b,f(x)在a,b]连续,在(a,b)可导,试证:彐x1,x2,x3∈[a,b使 得 f(ru f(x2) In f(x3) 证:将原式变形成 f(x1) 4x,(2)=hb-h f(x3),∫"前的系 数有一个共同特征:某函数F(x)在a,b的增量与F'在某点的值之比。因此联想到柯西 定理: f'(5) F'() (F(a)-F(b)=f(b)-f(a),或即 F(6)-F(a) F(f()=f(b)-f(a)。17 两式相减得 ( ) 2 ! ( ) ( ( ) ( ) ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f c n b a f f n b a f b f a n n n n n n n − +  − −    ，其中 ( ) max( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( )   n n n f c = f f 。 10、设 f（x）在[a，b]存在 n+1 阶导数，且满足 f a f b k n k k ( ) ( ) 0 , 0,1, , ( ) = ( ) = =  。 证明： [ , ] ( ) ( ) ( 1)    +   = n a b 使 f f 。 证：n = 0 时，令 ( ) = ( ), ( ) = ( ( ) − ( )) ( ) = ( ) = 0 − − h x e f x h x e f x f x h a h b x 则 x ，因 ， 所以  [a,b]使 f () = f ()。 n > 0 时，令 ( ) ( ) 0 ( ) g x f x n k k = = ，则 g（a）= g（b）= 0。故  [a,b]使 g() = g () ， 又因 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)   + + −  = − = n n g x g x f x f x ，故f f 。 11、设 P (x) n 是 n 次多项式，a > 0，a  0，求证：方程 a + P (x) = 0, n x 至多有 n+1 个 不同的实根。 证：（反证）应用罗尔定理，并注意到 ( ( )) (ln ) 0 ( 1) 1 + =  n+ x n+ n x a P x a a 。 12、设 0 < a < b，f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，试证： , , [ , ] x1 x2 x3  a b 使 得 ： ( ) ln 4 ( ) ( ) 2 ( ) 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 x f x b a a b x f x a b x f x  − =  = +  。 证：将原式变形成 ( ) 1 ln ln ( ) 4 ( ) 2 3 3 3 2 2 4 4 1 1 2 2 f x x b a f x x b a f x x b a  −  = −  = − ， f  前的系 数有一个共同特征：某函数 F（x）在[a，b]的增量与 F 在某点的值之比。因此联想到柯西 定理： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) , ( ) ( ) f f b f a F F b F a F a F b f b f a F f  = −  − − = −       或即