依次取F(x)=x2,x+,hx即可。 13、若f(x)在[0,1连续,在(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1。试证:对任 意一组正数m1,m2…,m,存在(0,1)内k个正数0<x1<x2<…<xk<1,使得 +m+…+m f(,f(x2) f(xr) 则q>0,∑91=1·只须证明:存在 ∈(01)x,个使∑=1。由于0<4<q1+q25…<q1+q2+…+9<1 且f(0)=0,f(1)=1=∑q,故由介值定理,存在51,52…;5k∈(01)且 <5k-1,使得f(51)=q1,f(52)=q1 ,f(5k1)=q+q2+…+qk 又由中值定理x1∈(0,51)使f(x1)51=f(5)=q1;x2∈(51,52)使得 f(x2)(2-51)=f(52)-f(51)=q2 xk∈(5k1,1)使f(xk) (1-5k-1)=f(1)-f(5k-1)=qk。将这些等式变形再相加即得所证 14、设f(x)在(0,+∞)n阶可导,且lmf(x),imf"(x)都存在。求证: f((x)=0(k=1,2,,n)。 证:(1)证明存在{m}↑+使∫((5m)→0(m→+∞,k=1,2,…,n 事实上,对自然数m,存在∈(2m-1,2m)使f'(m)=f(2m)-f(2m-1) 由于f(+∞)存在,故f'(5m)→0。显然1<1-0)<3且{m}个+∞。 设{m)↑+使f((m)→>0(m→+0),且1<5(1-5m)<3k。于是又存18 依次取 F(x)= x , x ,ln x 2 4 即可。 13、若 f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且 f(0)= 0,f(1)= 1。试证:对任 意一组正数 m m mk , , , 1 2 ,存在(0,1)内 k 个正数 0 x1 x2 xk 1 ,使得 k k k m m m f x m f x m f x m = + + + + + + 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 。 证:记 , , 0 , 1 1 1 = = = = = k i i i i i k i i q q M m M m q 则 。只须证明:存在 xi (0,1), xi 使 1 ( ) 1 = = k i i i f x q 。由于 0 < 1 q < 1 q + 2 q < ...< 1 q + 2 q ++ k−1 q < 1 且 f(0)= 0, f(1)= 1 = = k i qi 1 ,故由介值定理,存在 1 , , , 2 k−1 (0,1) 且 1 < 2 k−1 ,使得(f 1 )= 1 q ,(f 2 )= 1 q + 2 q ,...,(f k−1 )= 1 q + 2 q ++ k−1 q 。 又由中值定理 x1 (0, 1 )使 ( ) 1 f x 1 = f( 1 )= 1 q ; x2 ( 1 , 2 )使得 ( ) 2 f x ( 2 - 1 ) = f( 2 )-f( 1 )= 2 q ; ...... ; xk ( k−1 ,1)使 ( ) k f x (1- k−1 )=f(1)-f( k−1 )= k q 。将这些等式变形再相加即得所证。 14、设 f(x)在 (0 , + ) n 阶可导,且 x→+ lim f(x) ,x→+ lim ( ) ( ) f x n 都存在。求证: x→+ lim ( ) ( ) f x k = 0 (k = 1,2,...,n) 。 证:(1)证明存在{ (k ) m } + 使 (k ) f ( (k ) m ) → 0 (m → + ), k = 1,2,...,n 。 事实上,对自然数 m ,存在 (1) m (2m-1 ,2m)使 f ( (1) m ) = f (2m)- f (2m-1)。 由于 f ( + )存在,故 f ( (1) m ) → 0 。显然 1< (1) m+1 - (1) m <3 且{ (1) m } + 。 设{ (k ) m } + 使 (k ) f ( (k ) m ) → 0 (m → + ),且 1< ( ) 1 k m+ - (k ) m <3 k 。于是又存