第十九讲球函数 第5页 819.2 Legendre多项式 球形区域内x2+y2+2<a2的 Laplace方程边值问题 0. us=f(2), 其中∑代表球面x2+y2+2=a2上的变点 考虑到现在所讨论的空间区域的具体形状,自然会采用球坐标系来求解这个定解问题,而且 会把坐标原点放置在球心,如果边界条件具有绕某一个(通过球心的)固定轴旋转不变的对称性, 那么,当然也就应当把这个对称轴的方向取为极轴的方向 这样选择了坐标系后,所要求的未知函数u当然就与φ无关, u=u(r,6) 容易写出定解问题在球坐标系下的具体形式,但是,需要注意: ★ Laplace方程在6=0和=丌方向上不成立,在这些点上充其量只存在u(r,)对θ的单侧导 数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,必须补充上u(r,θ)在θ=0 和θ=丌方向上的有界条件 ★ Laplace方程在坐标原点r=0也不成立,在该点充其量只存在u(,0)对r的单侧导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,还必须补充上u(r)在坐标 原点r=0处的有界条件, 定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是 10 1 a in 0 0e 有界 =有界 l=0有界 u a=f(e) 分离变量.令 a(r,6)=R(r)() 代入方程和有界条件,就能够分离变量而得到 1 d de(6) sin e sin e de +A(6)=0 和(Rn)-MR()=0 6(0)有界 6(m)有界 其中λ是分离变量时引进的待定参数 Legendre方程,配上有界条件,构成本征值问题,通常作变换x=cos6,y(x)=(0),并且把Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 5 ❈ §19.2 Legendre ✛✜✢ ✣ ➼ ➙➛ ❼ x 2 + y 2 + z 2 < a2 ❝ Laplace ❴❵✤ Ü✥✦ ∇2u = 0, u   Σ = f(Σ), ➑ ➄ Σ è ➜ ✣ ⑧ x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ➧ ❝❢♠❂ ✧★↔✩⑤ ß✪➠ ❝✫✬➙➛❝➺➻➼✭✕✮ ✯✰✱✲ ✳✴✵✶ ✷➇ ④❛❦ ➲④✥✦✕ï ♣ ✰➒ ✴✵✸✹ ✺✻⑤ ✣❹❂➡Ú✤✼✽✾➺ ✐✿❀➯ ❦ (❁❂✣❹ ❝) ❃➲❄❅❆➳❢❝➾ú➋✕ ❇❈✕➪✯ Þê❉➪ ➒ ❛ ❦➾ú❄❝❴ ❊ þ❷ ❋● ❝❴ ❊❂ ❛❍■❏✇❑ ì ➷▲ ✕ ß▼➇ ❝◆❖Ý ➀ u ➪ ✯ êP φ ➌➍✕ u = u(r, θ). ◗❘➸➈ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝➺➻➼➞❂➟ ❞✕❚ ▼❯❱❲ F Laplace ❴❵⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ➳❳❨✕⑤❛❩ ♠➧❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ θ ❝❺❫❴ ➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ❝ ✐ ✼✽✾❂ F Laplace ❴❵⑤❑ ì❤ ♠ r = 0 Þ➳❳❨✕⑤✐ ♠❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ r ❝❺❫❴➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕á❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ ❑ ì ❤ ♠ r = 0 ❥❝ ✐ ✼✽✾❂ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝ Ô❦ ➜➝➼➞❉✐❞ 1 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂u ∂θ  = 0, u   θ=0 ✐ ✼✕ u   θ=π ✐ ✼✕ u   r=0 ✐ ✼✕ u   r=a = f(θ). õ❧❢❣❂♠ u(r, θ) = R(r)Θ(θ), èé❴❵♥✐ ✼✽✾✕ê② ➹õ❧❢❣ï➣↔ 1 sin θ d dθ  sin θ dΘ(θ) dθ  + λΘ(θ) = 0 Θ(0) ✐ ✼ Θ(π) ✐ ✼ ♥ d dr  r 2 dR(r) dr  − λR(r) = 0, ➑ ➄ λ ❞õ❧❢❣➴♥♦❝♣➲q➀❂ Legendre ❴❵✕r➧✐✼✽✾✕ s ❳t✉Ü✥✦❂ ❁⑩➓❢✈ x = cos θ, y(x) = Θ(θ) ✕ ♦♣➒