成员(投票人)i的偏好 群的排序 nk或Na,>ak)群中认为a,优于ak的成员数 采用上述记号,过半数规则可以表示为 对a,A∈A若nk>n则a,>a,;若nk=则a,~aa 2. borda法(1770年提出) 由每个投票人对m个候选人排序,排在第一位的得m-1分,排在第二位的得m-2分 根据各候选人所得总分多少确定其优劣 3. Condorcet原则(1785年提出) 寸候选人进行成对比较,若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人,则称为 Condorcet候选人;若存在 Condorcet候选人,则由其当选 用上述记号表示即若nk>nkak∈A!a,},则a,当选 例12.5群由60个成员组成A={a,b,c},群中成员的态度是 23人认为 a>c>b(即a优于c,c优于b,a也优于b) 人认为 b>>a 16人认为 c>b>a 2人认为 cra a与b相比N(a>b)=25,N(b>a)=35因此有b>a 与c相比Na>c)=23,Nc>a)=37因此有c>ca b与c相比N(b>c)=19,Nc>b)=41因此有c>cb 由于候选人c能分别击败a与b,所以c是 Condorcet候选人由c当选 但是,常常不存在 Condorcet候选人 4.多数票循环(投票悖论) 例12.6若群中60个成员的态度是 23人认为 a>b>c 17人认为 b>c>a 2人认为 b>a>c 8人认为 c>b>a 10人认为 c>a>b 由于N(a>b)=33,N(b>a)=27因此有a>cb N(b>c)=42,Nc>a)=18因此有b>cc N(a>c)=25,N(c>a)=35因此有c>G 每个成员的偏好是传递的,但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递出现多数 票循环这种现象称作 Condorcet效应(也叫投票悖论) 5.出现 Condorcet效应的概率 成员数N 12-612- 6  i , ～ i 成员(投票人) i 的偏好; ～ G ,  G 群的排序. n jk 或 N(a j  a k ) 群中认为 a j 优于 a k 的成员数 采用上述记号, 过半数规则可以表示为: 对 a j ,a k ∈A 若 n jk ＞n kj 则 a j  G a k ; 若 n jk =n kj 则 a j ～G a k 2. Borda 法( 1770 年提出) 由每个投票人对 m 个候选人排序, 排在第一位的得 m-1 分, 排在第二位的得 m-2 分,… 根据各候选人所得总分多少确定其优劣. 3. Condorcet 原则( 1785 年提出) 对候选人进行成对比较, 若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人, 则称为 Condorcet 候选人; 若存在 Condorcet 候选人,则由其当选. 用上述记号表示,即: 若 n jk ＞n kj ∨ a k ∈A\{ a j }, 则 a j 当选. 例12. 5 群由 60 个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是: 23 人认为 a c b (即 a 优于 c ,c 优于 b, a 也优于 b) 19 人认为 b c a 16 人认为 c b a 2 人认为 c a b a 与 b 相比 N(a b)=25, N(b a)=35 因此有 b  G a a 与 c 相比 N(a c)=23, N(c a)=37 因此有 c  G a b 与 c 相比 N(b c)=19, N(c b)=41 因此有 c  G b 由于候选人 c 能分别击败 a 与 b, 所以 c 是 Condorcet 候选人,由 c 当选. 但是,常常不存在 Condorcet 候选人. 4. 多数票循环(投票悖论) 例12. 6 若群中 60 个成员的态度是: 23 人认为 a b c 17 人认为 b c a 2 人认为 b a c 8 人认为 c b a 10 人认为 c a b 由于 N(a b)=33, N(b a)=27 因此有 a  G b N(b c)=42, N(c a)=18 因此有 b  G c N(a c)=25, N(c a)=35 因此有 c  G a 每个成员的偏好是传递的, 但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递,出现多数 票循环,这种现象称作 Condorcet 效应(也叫投票悖论) 5. 出现 Condorcet 效应的概率 成员数 N : 3 5 7 11 15 25 ∞