复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 家庭效用函数为 (cn)e 其中p为主观贴现率,(0)=∞,u(∞)=0。假定p>n,以保证当c为常数时, U是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率 假定存在两种资产,资本和债权,假定没有风险,资本市场完全竞争,因此 收益率都为n。同时存在竞争的劳动力市场,工资为w。假定总资产为A,平 均净资产为a=A/L,资产收益为ra。因此家庭的预算约束为 at=Wt+rar-Cr-na 2.非蓬齐对策条件(意义 lineare ]≥0 这意味着,在长期,一个家庭的平均债务的增长速度不能大于n-n,因此总债 务的增长速度不能超过n。我们定义nhv,因此2-4又可被写为 lima(te20 3.汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是,在跨期预算约束条件下最大化U0。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决,先写成现值汉米尔顿函数形式: H=u(x)- p-n)+u[u 其中4是资产的影子价格。一阶条件为 =0→=l(c)e(m aH →=-(r-n) limana=0 2-8 其中2一7是欧拉方程,或拉姆齐一凯恩斯最优储蓄规则。2-8是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2-6两边对时间求导得 3这种效用函数,这里的p等价于上一节中的p=p+n。因此本节稳态解的结论与第一节比较时, 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数,实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function(幸福函数) 其实是根据横截条件推出的 5A=wL+r4-C,因此a=d()/=a-AL,A,L,A L t li =w+ra-c-na复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 家庭效用函数为3 U u 2－2 ( ) 0 0 ( ) n t ct e ρ ∞ − − = ∫ dt 其中 ρ 为主观贴现率，u '(0) = ∞ ，u '(∞) = 0 。假定 ρ > n 4 ，以保证当c 为常数时， U 0 是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。 假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此 收益率都为 。同时存在竞争的劳动力市场，工资为 。假定总资产为 ，平 均净资产为a A ，资产收益为r a 。因此家庭的预算约束为 rt wt At t t = / Lt t ] 0 t t . a w t t = + rat − ct − na 5 2－3 2．非蓬齐对策条件（意义） 2－4 0 ( ) [ lim t r n v dv t t a e− − →∞ ∫ ≥ 这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 ，因此总债 务的增长速度不能超过 。我们定义 rt − n rt 0 1 t rt r t = vdv ∫ ，因此 2－4 又可被写为 ( ) [ ( ) ] 0 lim t rt n t a t e− − →∞ ≥ 2－4’ 3．汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U 。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式： 0 2－5 ( ) ( ) [ ( ) ] n H u x e w r n a c ρ µ − − = + + − − 其中µ 是资产的影子价格。一阶条件为 ( ) 0 '( ) H n t u c e c ρ µ ∂ − − = ⇒ = ∂ 2－6 . . ( ) H r n a µ µ ∂ = − ⇒ = − − ∂ µ 2－7 lim[ t t] 0 t µ a →∞ = 2－8 其中 2－7 是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8 是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2－6 两边对时间求导得 3 这种效用函数，这里的 ρ 等价于上一节中的 。因此本节稳态解的结论与第一节比较时， 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function（幸福函数） ρ ρ = n 第一节＋ 4 其实是根据横截条件推出的。 5 ，因此 . A w t t = + Lt rtAt −Ct . . . . . 2 ( )/ t t t t t t t t t t t t t A A L A L A L A a d dt w ra c na L L L L L − = = = − = + − − 6