382 高等数学重点难点100讲 ryzdxdy=xyzdxdy + ryzdrdy √a-rddy-‖xy(-√a-x)dd D =2Iy 2|x 再计算积分 ydydz,注意:上述对坐标x,y积分时是向xOy面投影,求出曲面Σ关于 x,y的显式函数x=x(x,y)=士√a2-x2,而这里是对坐标y,z进行积分,应向yOz面投 影,解出曲面∑关于y,的显式函数x=x(y,x).这时曲面Σ为x=√a-x的前侧,它 在yOz平面上的投影区域也是矩形Dx0≤y≤h,-a≤z≤a,由于Σ取前侧,故化成的 二重积分前取正号,于是 yaz 综上所述,得 xyzdxdy yd ydz=ryzdxdy +ydydelgh'tah 例10计算xddy+ ryd ydz+ yzdxdI,其中Σ是平面x=0,y=0,x=0,x+ y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 解法1先求组成二的各片平面上的组合型积分,再求和 曲面S由4片平面组成,记Σ在xOy,yOz,xOx面上的部分 分别为Σ1,S3,S,Σ在x+y+z=1面上的部分为2 ∑1的方程为x=0,方向向下,它在xOy面上的投影区域为 )s:x≥0,y≥0,x+y≤1,在yOx面和zOx面上的投影为线 段,面积为0,故有 rzdxdy ryd ydz yzdzdr x·0drdy=0; ∑2面的方程为x=0,方向向后,它在yOz面上的投影区域 图87-5 为Dn;y≥0,x≥0y+x≤1,在其他坐标面上的投影的面积为o,故有 za.ray +ryd ydz yzd≈dx 0· id ydz=0; ∑3面的方程为y=0,方向向左,它在xOx面上的投影区域为D4:x≥0,y≥0,x+x ≤1,在其他坐标面上的投影的面积为0,故有 rzdxdy +ryd ydz yzdzdr 0·dzdr=0. D,r 24面的方程为x+y+x=1,它在xOy面,yOx面,zOx面上的投影区域分别为D, x≥0,y≥0x+y≤1,D4:y≥0,z≥0y+x≤1,D4:x≥0,x≥0x+x≤1.它们 是全等的三角形,又Σ4面对xOy面,yO面,zOx面的方向分别为向上,向前和向右,故有