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.968 北京科技大学学报 第30卷 合，将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法， 当CR=O时，判断矩阵具有完全一致性，CR 改变了长期以来决策者与决策分析者之间难以沟通 愈大，判断矩阵的一致性就越差.当CR<0.1时， 的状态，大大提高了决策的有效性、可信性和可行 即认为该判断矩阵具有满意的一致性，说明权数分 性，运用AHP确定指标权重的基本步骤如下[]， 配是合理的；否则，就需调整判断矩阵，直到取得满 (1)建立递阶层次结构.首先将实际问题分解 意的一致性为止， 为若干因素，然后按属性把这些因素分成若干组，再 1.2模糊综合评价数学原理 划分成递阶的层次结构，递阶的层次结构一般可分 模糊综合评判9山]是指对受多个因素影响的 为最高层、中间层和最低层 系统进行决策或评估的过程，对多个评语构成的评 (2)两两比较，构造判断矩阵，在建立了层次 价集中，优选出相对精确的评价或决策的一种模糊 结构之后，对同一层次的各指标进行两两比较，按选 数学方法，模糊综合评判由以下三个要素构 取的标度表对每一层次各因素的相对重要性用数值 成1213] 形式给出判断，并写成矩阵形式，构成判断矩阵、矩 (1)因素集U=u1,u2,u3,…,um},即被评判 阵满足： 对象的各个因素组成集合 b:=1,b=1/bi（i,j=1,2,…,m)(1) (2)评价集V={v1,v2,u3,…,vn},即所有可 判断矩阵中的指标值b可以根据调研数据、统 能出现的评语构成的集合， 计资料、政府工作报告以及专家意见综合权衡后得 (3)单因素判断，即对单个因素：(=1,2，…， 出，通常取1,2，…，9及它们的倒数作为标度值， n)进行评价，得到V上的模糊集R:={r1,r2,…, (3)层次单排序.根据给出的判断矩阵，计算 rm},它是从U到V的一个模糊映射. 对上一层某因素而言，本层次与之有联系因素的重 R:是因素u:的模糊评语向量，它是对：的一 要性次序的数值，即层次单排序，它可以归结为计 个评价，T表示关于西所具有的评语：的程度 算判断矩阵B。的运算，即有： (=1,2,…,nj=1,2,…,m).按模糊数学原理， B。W=入marW (2) 模糊映射∫可以确定一个模糊关系，从而得到单 式中，入x为B。的最大特征根，W为对应入as的正 因素评价矩阵，它由所有对单因素评价的F集组 规化特征向量， 成： 将W=[w1,D2,…,Dn]的分量D:作为对 r11 T12 T1m 应因素排序的权重、入x及对应的特征向量W的 T21 T22 T2m 近似计算，可以采用和积法、方根法和求幂法， R- (5) 。 88 (4)层次总排序.求出层次单排序后，需要计 L rnl rn2 算同一层次所有因素对于最高层（评价的总目标）相 由于各个因素地位未必相等，所以需要对各因 对重要性的排序权值，即层次的总排序，这一过程 素加权.用U上的模糊子集A=a1,a2,…,a来 由最高到最低层次逐层进行 表示各因素的权重分配，a:是对应um因素的权重， (5)一致性检验，为评价经所构造的判断矩阵 模糊子集A和评价矩阵R的合成，就是对各个因素 求出的特征向量（权值）是否合理，需对判断矩阵进 的综合评价，即得到模糊综合评价的数学模型： 行一致性随机检验，为此，引入指标CR作为衡量 B=A°R (6) 判断矩阵一致性的标准，并定义： B是评价对象的综合模糊评价，它是V上的模糊子 CR=CI/RI (3) 集： 式中，CR为随机一致性比率；CI为判断矩阵的一致 B={b1,b2,b3,…,bn} (7) 性指标，由公式 其中，b反映了第j种评价在总评价集V中所占的 CI=(入max-m)/(m-1) (4) 地位 求出：RI为平均随机一致性指标，由表1给出. 表1平均随机一致性指标 2规模优化模型的建立 Table 1 Average random coincidence indicator 2.1评价对象的确定 m 23456789 本文主要讨论石人沟铁矿露天转地下开采后的 RI 00.580.941.121.241.321.411.45 生产规模问题.目前，矿山地质储量、赋存情况和选合将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法 改变了长期以来决策者与决策分析者之间难以沟通 的状态大大提高了决策的有效性、可信性和可行 性．运用 AHP 确定指标权重的基本步骤如下［6－8］． （1） 建立递阶层次结构．首先将实际问题分解 为若干因素然后按属性把这些因素分成若干组再 划分成递阶的层次结构．递阶的层次结构一般可分 为最高层、中间层和最低层． （2） 两两比较构造判断矩阵．在建立了层次 结构之后对同一层次的各指标进行两两比较按选 取的标度表对每一层次各因素的相对重要性用数值 形式给出判断并写成矩阵形式构成判断矩阵．矩 阵满足： bii＝1bij＝1／bji （ ij＝12…m） （1） 判断矩阵中的指标值 bij可以根据调研数据、统 计资料、政府工作报告以及专家意见综合权衡后得 出通常取12…9及它们的倒数作为标度值． （3） 层次单排序．根据给出的判断矩阵计算 对上一层某因素而言本层次与之有联系因素的重 要性次序的数值即层次单排序．它可以归结为计 算判断矩阵 Bp 的运算即有： Bp W＝λmax W （2） 式中λmax为 Bp 的最大特征根W 为对应λmax的正 规化特征向量． 将 W＝［ w1w2…wn ］ T 的分量 wi 作为对 应因素排序的权重．λmax及对应的特征向量 W 的 近似计算可以采用和积法、方根法和求幂法． （4） 层次总排序．求出层次单排序后需要计 算同一层次所有因素对于最高层（评价的总目标）相 对重要性的排序权值即层次的总排序．这一过程 由最高到最低层次逐层进行． （5） 一致性检验．为评价经所构造的判断矩阵 求出的特征向量（权值）是否合理需对判断矩阵进 行一致性随机检验．为此引入指标 CR 作为衡量 判断矩阵一致性的标准并定义： CR＝CI／RI （3） 式中CR 为随机一致性比率；CI 为判断矩阵的一致 性指标由公式 CI＝（λmax－ m）／（ m－1） （4） 求出；RI 为平均随机一致性指标由表1给出． 表1 平均随机一致性指标 Table1 Average random coincidence indicator m 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0∙58 0∙94 1∙12 1∙24 1∙32 1∙41 1∙45 当 CR＝0时判断矩阵具有完全一致性．CR 愈大判断矩阵的一致性就越差．当 CR＜0∙1时 即认为该判断矩阵具有满意的一致性说明权数分 配是合理的；否则就需调整判断矩阵直到取得满 意的一致性为止． 1∙2 模糊综合评价数学原理 模糊综合评判［9－11］ 是指对受多个因素影响的 系统进行决策或评估的过程对多个评语构成的评 价集中优选出相对精确的评价或决策的一种模糊 数学 方 法．模 糊 综 合 评 判 由 以 下 三 个 要 素 构 成［12－13］． （1） 因素集 U＝｛u1u2u3…um｝即被评判 对象的各个因素组成集合． （2） 评价集 V ＝｛v1v2v3…v n｝即所有可 能出现的评语构成的集合． （3） 单因素判断即对单个因素 ui（ i＝12… n）进行评价得到 V 上的模糊集 Ri＝｛ri1ri2… rim｝它是从 U 到 V 的一个模糊映射． Ri 是因素 ui 的模糊评语向量它是对 ui 的一 个评价．rij 表示关于 ui 所具有的评语 vi 的程度 （ i＝12…n；j＝12…m）．按模糊数学原理 模糊映射 f 可以确定一个模糊关系 R从而得到单 因素评价矩阵它由所有对单因素评价的 F 集组 成： R＝ r11 r12 … r1m r21 r22 … r2m … … … … rn1 rn2 … rnm （5） 由于各个因素地位未必相等所以需要对各因 素加权．用 U 上的模糊子集 A＝｛a1a2…aj｝来 表示各因素的权重分配ai 是对应 um 因素的权重． 模糊子集 A 和评价矩阵 R 的合成就是对各个因素 的综合评价．即得到模糊综合评价的数学模型： B＝ A●R （6） B 是评价对象的综合模糊评价它是 V 上的模糊子 集： B＝｛b1b2b3…bn｝ （7） 其中bj 反映了第 j 种评价在总评价集 V 中所占的 地位． 2 规模优化模型的建立 2∙1 评价对象的确定 本文主要讨论石人沟铁矿露天转地下开采后的 生产规模问题．目前矿山地质储量、赋存情况和选 ·968· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷