中国科学:数学第49卷第3期 下面举例说明如何用定理4.1来证明单生过程的一些相关结果 定义 由命题42及(4.1)和(4.6)立刻得到 F ,n≥0. 定理2.2的证明由文献5,定理2.47和2.40或定理21,单生过程唯一当且仅当对某个(等 价地,对所有)A>0,方程 i≥0, (4.8) 的解(u)无界.改写(4.8)为 2u= Qu-Au=0 应用定理41,此时c≡-A,f≡0,我们得到唯一解: 1+入 显然,n关于n单调增加,因此,其无界当且仅当∑nmn=∞.剩下的只需证明两个级数∑nmn和 ∑nmn=∞等价.为节省篇幅,我们在此略去,有兴趣者可参见文献[40 定理33的证明由文献[5,引理4.51]或定理32,单生过程常返当且仅当方程 0≤r;≤ 只有零解.容易看出,后者等价于方程 i≥0,x0=1 的解无界.改写上述方程为 应用定理4.1,此时c≡0,f1=90(1-6o),立刻得到唯一解: 由(4.7)推出 ∑F=∑ ≥1 显然,(xn)无界当且仅当∑x=0F8=∞.换而言之,方程(4.9)只有零解当且仅当∑0F0=∞.口 627中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 下面举例说明如何用定理 4.1 来证明单生过程的一些相关结果. 定义 me 0 = 1 q01 , me n = 1 qn,n+1 ( 1 + n∑−1 k=0 q˜ (k) n me k ) , n > 1, (4.6) 由命题 4.2 及 (4.1) 和 (4.6) 立刻得到 Fe(i) n = ∑n k=i+1 Fe(k) n q˜ (i) k qk,k+1 , n > i > 0, me n = ∑n k=0 Fe(k) n qk,k+1 , n > 0. (4.7) 定理 2.2 的证明 由文献 [5, 定理 2.47 和 2.40] 或定理 2.1, 单生过程唯一当且仅当对某个 (等 价地, 对所有) λ > 0, 方程 (λ + qi)ui = ∑ j̸=i qijuj , i > 0, u0 = 1 (4.8) 的解 (ui) 无界. 改写 (4.8) 为 Ωu = Qu − λu = 0, u0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ −λ, fi ≡ 0, 我们得到唯一解: un = 1 + λ ∑ 06k6n−1 ∑ k j=0 Fe(j) k qj,j+1 = 1 + λ ∑ 06k6n−1 me k, n > 0. 显然, un 关于 n 单调增加, 因此, 其无界当且仅当 ∑ n me n = ∞. 剩下的只需证明两个级数 ∑ n me n 和 ∑ n mn = ∞ 等价. 为节省篇幅, 我们在此略去, 有兴趣者可参见文献 [40]. 定理 3.3 的证明 由文献 [5, 引理 4.51] 或定理 3.2, 单生过程常返当且仅当方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, 0 6 xi 6 1, i > 0 (4.9) 只有零解. 容易看出, 后者等价于方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, i > 0, x0 = 1 的解无界. 改写上述方程为 (Qx)0 = 0, (Qx)i = qi0, i > 1, x0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ 0, fi = qi0(1 − δi0), 立刻得到唯一解: x0 = 1, xn = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k qj0 qj,j+1 = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k q (0) j qj,j+1 , n > 1. 由 (4.7) 推出 xn = 1 + n∑−1 k=1 F (0) k = n∑−1 k=0 F (0) k , n > 1. 显然, (xn) 无界当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 换而言之, 方程 (4.9) 只有零解当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 627