·1638+ 北京科技大学学报 第36卷 后，这个方法可以延伸到瞬态和多维案例中： Ar=-B h 2模拟实例与讨论 如前所述，基于ALE算法与Lam-Bremhorst低 Pe= (25) 雷诺数湍流方程，笔者开发了非稳态与时间相关的 温度场和流场计算的实时模型。 式中，Pe是单元佩克莱数，Pe和单元尺寸h定义 2.1几何模型、热物性参数及边界条件设置 如下： 以某钢厂断面为100mm×100mm的连铸小方 =风mm(告舒告） (26) 坯为研究对象，为节省计算时间，本研究只模拟了小 方坯的二维情况，模拟计算域选取小方坯的纵向中 式中，△x△y和△z是单元在x、y和z方向的长度， 心断面，同时考虑到对称性，只选取纵向断面的1/2 山，山，和山，是在x、y和z方向的速度分量.每个时间 开展建模.结晶器长度700mm,铸坯在结晶器中冷 步长的每个单元都要计算逆向参数.SUPG方法用 却形成一定厚度的凝壳以后，离开结晶器进入垂直 于带有混合扩散和对流的所有方程中.在其他方程 段，长度2m,然后进入扇形段，半径3m,扇形段弧 中采用标准伽辽金法.质量矩阵是集中的 度为π2，经过扇形段以后进入水平段，水平段长度 在方程(21)的离散后，求解通过雅克比迭代法 7m,然后切割小方坯.为表征连铸过程铸坯的移 进行迭代，方程(23)的求解通过不完整的柯列斯基 动，将其计算域划分为Euler、Expansion和Lagrange 共轭梯度法进行迭代，这源于Kershaw的研究u. 三层（图1)，随着引锭头的向下移动，Expansion层 方程(22)的求解采用替代法，因为在质量矩阵集中 不断地向下扩展，并且以5mm高度为一个新网格连 之后，这一步中不涉及矩阵.在上面的流体流动方 续不断地加入到Lagrange层中，而结晶器和Euler 程的瞬态求解中，单元库朗数对于数值方案的精确 层的位置保持不动 和稳定是非常重要的.模型通过增大或减小与来自 最后时间步长的有关的时间步长来控制计算中最高 ■ 单元库朗数 1.4.2能量方程 在能量方程中，内部的能源项和扩散项必须是 隐式的：否则，就需要特别小的时间步长（或每个时 Eler层 间步长的迭代数)，计算时间较长.在动态起步阶 段，能量方程中的时间偏导数项的精确是非常重要 2 Expansion层 的.焓是一个独立的变量，温度作为焓的函数通过 下面数学关系的使用被线性化四： Lagrange层 aT ah dT(x）_ax;ar (27) dh (x)ahah ox;ax 这个表达式在每个单元的中心点计算.在时间离散 引锭头 后，能量式(13)转换为： 8ha+1 +p则+p,(g1-4)C- s oh" ox; 图1计算模型 aT"ah" Fig.1 Computational model 日a+凸)，ash (28) ax;( Pr.ah"ah"ax; 连铸小方坯材质为X70钢，部分热物性参数如 dxi dxi 比热容、热导率、运动黏度等都是与温度有关的函 这里n为时间步长（温度和焓已知），n+1代表了新 数，具体数值详见表1.密度是与温度无关的常数， 的时间步长（温度和焓未知）.空间通过SUPG方法 为7800kg°m-3.固相线温度、液相线温度和浇铸温 进行离散，产生的代数方程通过ICCG(O)方法进行 度分别是1461、1520和1540℃，熔化潜热为256.4 求解. kJ.kg-1.北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 后，这个方法可以延伸到瞬态和多维案例中: Δτ = β 槡15 h V ，β = coth ( Pe ) 2 － 2 Pe， Pe = u2 槡i ·h ν ． ( 25) 式中，Pe 是单元佩克莱数，Pe 和单元尺寸 h 定义 如下: h = u2 槡i ·min ( Δx | ux | ，Δy | uy | ，Δz | uz ) | ． ( 26) 式中，Δx、Δy 和 Δz 是单元在 x、y 和 z 方向的长度， ux、uy和 uz是在 x、y 和 z 方向的速度分量． 每个时间 步长的每个单元都要计算逆向参数． SUPG 方法用 于带有混合扩散和对流的所有方程中． 在其他方程 中采用标准伽辽金法． 质量矩阵是集中的． 在方程( 21) 的离散后，求解通过雅克比迭代法 进行迭代，方程( 23) 的求解通过不完整的柯列斯基 共轭梯度法进行迭代，这源于 Kershaw 的研究［21］． 方程( 22) 的求解采用替代法，因为在质量矩阵集中 之后，这一步中不涉及矩阵． 在上面的流体流动方 程的瞬态求解中，单元库朗数对于数值方案的精确 和稳定是非常重要的． 模型通过增大或减小与来自 最后时间步长的有关的时间步长来控制计算中最高 单元库朗数． 1. 4. 2 能量方程 在能量方程中，内部的能源项和扩散项必须是 隐式的; 否则，就需要特别小的时间步长( 或每个时 间步长的迭代数) ，计算时间较长． 在动态起步阶 段，能量方程中的时间偏导数项的精确是非常重要 的． 焓是一个独立的变量，温度作为焓的函数通过 下面数学关系的使用被线性化［22］: dT( xj ) dh( xj ) = T xj h xj h xj h xj ． ( 27) 这个表达式在每个单元的中心点计算． 在时间离散 后，能量式( 13) 转换为: ρ hn + 1 t + ρus j hn xj + ρcp ( un + 1 j － us j ) Tn xj =  x (j λ + ρcpνt Pr ) t Tn xj hn xj hn xj hn xj hn + 1 xj ． ( 28) 这里 n 为时间步长( 温度和焓已知) ，n + 1 代表了新 的时间步长( 温度和焓未知) ． 空间通过 SUPG 方法 进行离散，产生的代数方程通过 ICCG( 0) 方法进行 求解． 2 模拟实例与讨论 如前所述，基于 ALE 算法与 Lam-Bremhorst 低 雷诺数湍流方程，笔者开发了非稳态与时间相关的 温度场和流场计算的实时模型． 2. 1 几何模型、热物性参数及边界条件设置 以某钢厂断面为 100 mm × 100 mm 的连铸小方 坯为研究对象，为节省计算时间，本研究只模拟了小 方坯的二维情况，模拟计算域选取小方坯的纵向中 心断面，同时考虑到对称性，只选取纵向断面的 1 /2 开展建模． 结晶器长度 700 mm，铸坯在结晶器中冷 却形成一定厚度的凝壳以后，离开结晶器进入垂直 段，长度 2 m，然后进入扇形段，半径 3 m，扇形段弧 度为 π/2，经过扇形段以后进入水平段，水平段长度 7 m，然后切割小方坯． 为表征连铸过程铸坯的移 动，将其计算域划分为 Euler、Expansion 和 Lagrange 三层( 图 1) ，随着引锭头的向下移动，Expansion 层 不断地向下扩展，并且以 5 mm 高度为一个新网格连 续不断地加入到 Lagrange 层中，而结晶器和 Euler 层的位置保持不动． 图 1 计算模型 Fig． 1 Computational model 连铸小方坯材质为 X70 钢，部分热物性参数如 比热容、热导率、运动黏度等都是与温度有关的函 数，具体数值详见表 1． 密度是与温度无关的常数， 为 7800 kg·m － 3 ． 固相线温度、液相线温度和浇铸温 度分别是 1461、1520 和 1540 ℃，熔化潜热为 256. 4 kJ·kg － 1 ． · 8361 ·