第12期 唐娜娜等：小方坯连铸过程温度场和流场的实时模拟 ·1637· 量、动量和能量守恒方程转换为： 隐式的（仅仅发散项）.守恒方程(7)和(8)的半隐 a=0, 式方法如下.考虑到在时间步长数n的时候速度场 (16) ax: 为，压力场为p”、u+1和p+1满足： 测+(y,- ai u* =0， (19) dx; ax; -L2+是(+w)驰+F,+S-?s,(1) Po ox:dxj 3x: 山1=-△1心 uiap p dx; p兴+p%-)=（A+当g aH dx;dxi △日(u+w)3 aug dx; +AF7+A2k 30x: (18) (20) K和ε从式(9)和(10)计算得到，其用网格计算节 定义初步或中间可压缩速度场如下： 点的速度修改与上述动量方程类似.在引锭头和板 坯的已经凝固的部分，Eulerian-Lagrangian方法简化 u;=u-△t"u +a…(+n) ou 0x dx; 为单纯的Lagrangian方法(u=),因此在式(18) 中没有潜热的对流释放.在浸入式浇口部分， 4F-42k (21) 3 ax Eulerian-Lagrangian方法简化为单纯的Eulerian方 通过Hodge分解投射到自由发散场的公式如下（达 法(u=0).由此，方坯或者板坯的计算域划分为三 西法则的源项S与多孔媒介的标量梯度类似)： 个部分，包括钢水入流的浇口在内的方坯或者板坯 .1dp"+ u+1=u4-△r -+△t…Sg+1. (22) 的顶部固定为Euler层，Euler层下边分别为 p dx: Expansion层和Lagrange层.在Expansion层，一层单 在Perot D后，这个方法中的速度场u*1有一 元不断地垂直增长，当它的厚度达到某一临界值时， 个误差项等于△2(u+,)2p"+'p.对于连铸中 单元被分割，下边的分割单元并入Lagrange层并随 的黏度，这个误差项可以忽略，但是如果黏度的数量 引锭头以拉坯速度向下移动.当Lagrange层移动进 级是非常高的（例如金属的挤压），迭代过程是必须 入弧形段时，网格计算节点的速度将用相应的角速 的.压力刚度方程可由质量守恒方程(19)、映射方 度表示，角速度等于拉坯速度与弧形段对应半径的 程(22)得到： 比值.通过上述ALE算法，将能够实现包括弧形段 1 ap""1 aui as:" (23) 在内的动态网格扩展，这使得连铸全过程的实时计 p时da+ 算成为可能 求解质量和动量守恒方程的分离数值方案为在 1.4数值求解 每个时间步长内依次求解方程(21)、(23)和(22). 上述不同的守恒方程的计算均采用有限元法，动 方程(23)中采用压力边界条件（入口流和出口流）， 态Navier-Stokes的计算使用分数步长法，混合对流和 方程(22)中采用速度狄利克雷边界条件.标准有限 扩散方程的求解采用标准Galerkin法和Streamline Up- 元近似是基于加权残差法的伽辽金法，但是这个方 wind Petrov-Galerkin Method (SUPG). 法不适合处理实际关心的多流问题.产生的中心差 1.4.1流体流动 分近似是数值求解困难的原因.在SUPG公式中， 求解NS方程采用了投影法或速度场和压力等 对标准伽辽金加权函数Φ使用流动方向上的流线 阶插值的分离速度压力分步法.为处理不可压缩流 迎风加以修正如下所示： 体，Chorin的于1968年引入了投影法，将不可压缩 性作为一个约束.在Zhu和Sethian的研究工作 =D+△rU中 (24) 后，求解NS方程的中心思想变为先忽略不可压缩 式中，Φ是标准伽辽金加权函数，玉为标准伽辽金 性来更新速度，计算一个时间步，然后投射到不可压 权函数修改后的近似值，△r是迎风参数，U.,是速度 缩流体的空间.这个中心思想是受霍奇分解的启 分量的节点未知解(i定义速度分量，q定义节点 发.霍奇分解描述了定义在一个区域2上的速度场 数)，④，为节点数为q时的标准伽辽金加权函数 山：可被分解为自由发散的部分u,这满足了边界条 在一维中，存在一个最优逆向参数的选择，这个选择 件um:=0和一些标量函数平的梯度.现在模型中 来自于一维对流扩散方程的解析，例如文献8]. 应用的这个方法，压力是隐式的，速度是显式的或半 在Brooks和Hughes9、Zienkiewicz和Taylor D0之第 12 期 唐娜娜等: 小方坯连铸过程温度场和流场的实时模拟 量、动量和能量守恒方程转换为: ui xi = 0， ( 16) ui t + ( uj － us j ) ui xj = － 1 ρ0 p xi +  xj ( ν + νt ) ui xj + Fi + Si － 2 3 κ xi ，( 17) ρ H t + ρ( uj － us j ) cpT xj =  x (j λ + ρcpνt Pr ) t T xj ． ( 18) κ 和 ε 从式( 9) 和( 10) 计算得到，其用网格计算节 点的速度修改与上述动量方程类似． 在引锭头和板 坯的已经凝固的部分，Eulerian--Lagrangian 方法简化 为单纯的 Lagrangian 方法( uj = us j ) ，因此在式( 18) 中没有 潜 热 的 对 流 释 放． 在浸入式浇口部分， Eulerian--Lagrangian 方法简化为单纯的 Eulerian 方 法( us j = 0) ． 由此，方坯或者板坯的计算域划分为三 个部分，包括钢水入流的浇口在内的方坯或者板坯 的 顶 部 固 定 为 Euler 层，Euler 层 下 边 分 别 为 Expansion层和 Lagrange 层． 在 Expansion 层，一层单 元不断地垂直增长，当它的厚度达到某一临界值时， 单元被分割，下边的分割单元并入 Lagrange 层并随 引锭头以拉坯速度向下移动． 当 Lagrange 层移动进 入弧形段时，网格计算节点的速度将用相应的角速 度表示，角速度等于拉坯速度与弧形段对应半径的 比值． 通过上述 ALE 算法，将能够实现包括弧形段 在内的动态网格扩展，这使得连铸全过程的实时计 算成为可能． 1. 4 数值求解 上述不同的守恒方程的计算均采用有限元法，动 态 Navier-Stokes 的计算使用分数步长法，混合对流和 扩散方程的求解采用标准 Galerkin 法和Streamline Up￾wind Petrov--Galerkin Method ( SUPG) 法． 1. 4. 1 流体流动 求解 N-S 方程采用了投影法或速度场和压力等 阶插值的分离速度压力分步法． 为处理不可压缩流 体，Chorin［15］于 1968 年引入了投影法，将不可压缩 性作为一个约束． 在 Zhu 和 Sethian［16］的研究工作 后，求解 N-S 方程的中心思想变为先忽略不可压缩 性来更新速度，计算一个时间步，然后投射到不可压 缩流体的空间． 这个中心思想是受霍奇分解的启 发． 霍奇分解描述了定义在一个区域 Ω 上的速度场 u* i 可被分解为自由发散的部分 ui，这满足了边界条 件 uimi = 0 和一些标量函数 Ψ 的梯度． 现在模型中 应用的这个方法，压力是隐式的，速度是显式的或半 隐式的( 仅仅发散项) ． 守恒方程( 7) 和( 8) 的半隐 式方法如下． 考虑到在时间步长数 n 的时候速度场 为 un i ，压力场为 pn 、un + 1 i 和 pn + 1满足: un + 1 i xi = 0， ( 19) un + 1 i = un i － Δt·un j un i xj － Δt·1 ρ pn + 1 xi + Δt·  xj ( ν + νt ) un + 1 i xj + Δt·Fn i + Δt·Sn + 1 i － 2 3 kn xi ． ( 20) 定义初步或中间可压缩速度场如下: u* i = un i － Δt·un j un i xj + Δt·  xj ( ν + νt ) u* i xj + Δt·Fn i － Δt·2 3 kn xi ． ( 21) 通过 Hodge 分解投射到自由发散场的公式如下( 达 西法则的源项 Si与多孔媒介的标量梯度类似) : un + 1 i = u* i － Δt·1 ρ pn + 1 xi + Δt·Sn + 1 i ． ( 22) 在 Perot［17］后，这个方法中的速度场 un + 1 i 有一 个误差项等于 Δt 2 ( v + vt ) 2 Δ Δ pn + 1 /ρ． 对于连铸中 的黏度，这个误差项可以忽略，但是如果黏度的数量 级是非常高的( 例如金属的挤压) ，迭代过程是必须 的． 压力刚度方程可由质量守恒方程( 19) 、映射方 程( 22) 得到: 1 ρ  2 pn + 1 x 2 i = 1 Δt u* i xi + Sn + 1 i xi ． ( 23) 求解质量和动量守恒方程的分离数值方案为在 每个时间步长内依次求解方程( 21) 、( 23) 和( 22) ． 方程( 23) 中采用压力边界条件( 入口流和出口流) ， 方程( 22) 中采用速度狄利克雷边界条件． 标准有限 元近似是基于加权残差法的伽辽金法，但是这个方 法不适合处理实际关心的多流问题． 产生的中心差 分近似是数值求解困难的原因． 在 SUPG 公式中， 对标准伽辽金加权函数 Φ 使用流动方向上的流线 迎风加以修正如下所示: Φ 槇 = Φ + ΔτUi，qΦq Φ xi ( 24) 式中，Φ 是标准伽辽金加权函数，Φ 槇 为标准伽辽金 权函数修改后的近似值，Δτ 是迎风参数，Ui，q是速度 分量的节点未知解( i 定义速度分量，q 定义节点 数) ，Φq 为节点数为 q 时的标准伽辽金加权函数． 在一维中，存在一个最优逆向参数的选择，这个选择 来自于一维对流扩散方程的解析，例如文献［18］． 在 Brooks 和 Hughes［19］、Zienkiewicz 和 Taylor［20］ 之 · 7361 ·