·1636 北京科技大学学报 第36卷 p+G--2-2 K 数，表明温度边界层与流动边界层的关系，根据经验 (9) 取为1.0.从式(13)中的第二项可以看出，潜热以 "1e+ E+山=证"+C/远 固相速度释放，此处忽略了糊状区自由凝固的钢液， 假设整个固相分数与以拉坯速度运动的树枝晶组织 C,P+(1-C)G月s-CfE2 有关 K 1.3网格扩展几何 子4：12 2e+2m(,） (10) 模拟连铸的拉坯过程，要求能够实现移动计算 域下网格随着拉坯的进行而动态进行扩展.单纯的 式中，C1、C2、C3、C.和C,是常数，壁面边界条件是 Eulerian方法，网格保持固定，表达自由边界比较困 ￡=K=0.式(9)中的最后一项来自于对湍流耗散参 难，而且无法适应计算域是移动边界条件下的计算 数的重新定义.壁面处耗散是零，额外项将逐渐接 单纯的Lagrangian算法尽管相比单纯的Eulerian算 近真实耗散的非零值.P和G是湍流产生项. 法由于缺少对流项，控制方程简单，但是由于网格点 与物质点重合，物质的扭曲容易造成计算网格的畸 形，从而导致计算失败，同时单纯的Lagrangian算法 v.dfi G二pi,ax: ”=Cf (11) 无法处理一些接触边界条件，如拐角或者某些尖锐 的边.在连铸过程中部分计算域是固定的（如浸入 式中，C是常数，P,是湍流普朗特数.LRN阻尼函 式浇口)，部分计算域则是以拉坯速度运动的（如板 数定义如下： 坯随着引锭头而移动)，所以使用单纯的Eulerian算 34 f=1.0-03e=ie, 法和单纯的Lagrangian算法都无法准确表达钢坯的 es2 拉坯行为.例如浇口等在实际连铸过程中位置固 (12) vE 定，如采用单纯的Lagrangian算法处理移动网格，则 需要注意的是式(11)中的G,当冷的液体上部 容易引起整个计算域的速度波动.因此，引入了任 为热的液体时，需要取负值，因为这种情况下抑制了 意拉格朗日-欧拉(ALE)方法很好地解决了连铸过 动量的垂直湍流流动.在式(I2)中f,为Launder和 程中网格固定以及移动扩展的问题.该方法计算网 Sharma定义的函数，表示了与局部湍流雷诺数有关 格可以在空间中以任意的形式运动，即独立于物质 的单项流的阻尼机制.f可以用函数修改，表示 坐标系和空间坐标系运动，通过规定合适的网格运 了糊状区液相分数变化的影响，这与Shy等的研究 动形式可以准确地描述物体的移动界面，并维持合 相似，取α=1/2国.式(9)和(10)的达西阻尼项只 理的单元形状.纯拉格朗日和纯欧拉方法实际上是 有在计算糊状区时才予以考虑，这时LRN阻尼函数 ALE描述的两个特例，当网格的运动速度等于物体 f将取Launder和Sharma原始定义的数值（即不考 的运动速度时就退化为拉格朗日描述，当网格固定 虑b“),而Launder等计算使用的经验常数值己经成 于空间不动时就退化为欧拉描述.有关任意拉格朗 为K传输方程的标准值，这些经验值具体可参考 日-欧拉方法方法的详尽描述，参考文献14].ALE 文献01]. 方法其基本原理是：引入一个参考构型，该构型由一 1.2热传输 组无约束网格点所组成，这些网格点可以在空间任 考虑到由于瑞流混合而引起的热扩散的增加， 意运动.参考构型中的每一点都由三个独立坐标X: 混合的能量守恒方程也需要加入湍流混合项来进行 表示，这样参考构型中每点的运动都可以用空间坐 修改，改后的方程如下： 标x来表达，其是K和时间t的函数，即 aH (14) 识+p叫+p%-g xi=x;(,t). ax; 参考构型中的坐标X、空间坐标x:和物质坐标X:之 品a+院)品 间的关系可以通过物质点和空间点在参考构型中的 (13) ax; 匹配建立起来，如下所示： 式中，P、t、H、T、c。、入和Pr,分别是密度、时间、混合 xi=f(xj,t)=f (X,t) (15) 焓、温度、比热容、热导率和湍流普朗特数.能量方 式中，f和：是单值连续一阶导数.由此，在ALE描 程中忽略了黏滞热.湍流普朗特数表征流体流动中 述中，守恒方程用网格计算节点的速度（此处等于 动量交换与热交换相对重要性的一个量纲一的参 固体速度u)来修改.Eulerian-agrangian形式的质北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 P + G － ε － 2 ν K κ － 2ν ( 槡κ x ) j 2 ， ( 9) ε t + uj ε xj =  x (j ν + νt C ) ε ε xj + C1［P + ( 1 － C3 ) G］ε － C2 fε ε2 κ － 2 ν K ε + 2ννt (  2 ui xj x ) k 2 ． ( 10) 式中，C1、C2、C3、Cκ 和 Cε 是常数，壁面边界条件是 ε = κ = 0． 式( 9) 中的最后一项来自于对湍流耗散参 数的重新定义． 壁面处耗散是零，额外项将逐渐接 近真实耗散的非零值． P 和 G 是湍流产生项． P = νt ( ui xj + uj x ) i ui xj ， G = νt Prt fi xi ，νt = Cvfv κ2 ε ． ( 11) 式中，Cv是常数，Prt是湍流普朗特数． LＲN 阻尼函 数定义如下: fε = 1. 0 － 0. 3e － Ｒe2 ，fv = gα l e ( － 3. 4 1 + Ｒet 50 ) 2 ， Ｒe = κ2 νε ． ( 12) 需要注意的是式( 11) 中的 G，当冷的液体上部 为热的液体时，需要取负值，因为这种情况下抑制了 动量的垂直湍流流动． 在式( 12) 中 fv 为 Launder 和 Sharma 定义的函数，表示了与局部湍流雷诺数有关 的单项流的阻尼机制． fv 可以用函数 bα l 修改，表示 了糊状区液相分数变化的影响，这与 Shyy 等的研究 相似，取 α = 1 /2 ［13］． 式( 9) 和( 10) 的达西阻尼项只 有在计算糊状区时才予以考虑，这时 LＲN 阻尼函数 fv 将取 Launder 和 Sharma 原始定义的数值( 即不考 虑 bα l ) ，而 Launder 等计算使用的经验常数值已经成 为 κ-ε 传输方程的标准值，这些经验值具体可参考 文献［11］． 1. 2 热传输 考虑到由于湍流混合而引起的热扩散的增加， 混合的能量守恒方程也需要加入湍流混合项来进行 修改，改后的方程如下: ρ H t + ρus j H xj + ρ( uj － us j ) cpT xj =  x (j λ + ρcpνt Pr ) t T xj ． ( 13) 式中，ρ、t、H、T、cp、λ 和 Prt分别是密度、时间、混合 焓、温度、比热容、热导率和湍流普朗特数． 能量方 程中忽略了黏滞热． 湍流普朗特数表征流体流动中 动量交换与热交换相对重要性的一个量纲一的参 数，表明温度边界层与流动边界层的关系，根据经验 取为 1. 0． 从式( 13) 中的第二项可以看出，潜热以 固相速度释放，此处忽略了糊状区自由凝固的钢液， 假设整个固相分数与以拉坯速度运动的树枝晶组织 有关． 1. 3 网格扩展几何 模拟连铸的拉坯过程，要求能够实现移动计算 域下网格随着拉坯的进行而动态进行扩展． 单纯的 Eulerian 方法，网格保持固定，表达自由边界比较困 难，而且无法适应计算域是移动边界条件下的计算． 单纯的 Lagrangian 算法尽管相比单纯的 Eulerian 算 法由于缺少对流项，控制方程简单，但是由于网格点 与物质点重合，物质的扭曲容易造成计算网格的畸 形，从而导致计算失败，同时单纯的 Lagrangian 算法 无法处理一些接触边界条件，如拐角或者某些尖锐 的边． 在连铸过程中部分计算域是固定的( 如浸入 式浇口) ，部分计算域则是以拉坯速度运动的( 如板 坯随着引锭头而移动) ，所以使用单纯的 Eulerian 算 法和单纯的 Lagrangian 算法都无法准确表达钢坯的 拉坯行为． 例如浇口等在实际连铸过程中位置固 定，如采用单纯的 Lagrangian 算法处理移动网格，则 容易引起整个计算域的速度波动． 因此，引入了任 意拉格朗日--欧拉( ALE) 方法很好地解决了连铸过 程中网格固定以及移动扩展的问题． 该方法计算网 格可以在空间中以任意的形式运动，即独立于物质 坐标系和空间坐标系运动，通过规定合适的网格运 动形式可以准确地描述物体的移动界面，并维持合 理的单元形状． 纯拉格朗日和纯欧拉方法实际上是 ALE 描述的两个特例，当网格的运动速度等于物体 的运动速度时就退化为拉格朗日描述，当网格固定 于空间不动时就退化为欧拉描述． 有关任意拉格朗 日--欧拉方法方法的详尽描述，参考文献［14］． ALE 方法其基本原理是: 引入一个参考构型，该构型由一 组无约束网格点所组成，这些网格点可以在空间任 意运动． 参考构型中的每一点都由三个独立坐标 χi 表示，这样参考构型中每点的运动都可以用空间坐 标 xi来表达，其是 χi和时间 t 的函数，即 xi = xi ( χj ，t) ． ( 14) 参考构型中的坐标 χi、空间坐标 xi和物质坐标 Xi之 间的关系可以通过物质点和空间点在参考构型中的 匹配建立起来，如下所示: χi = fi ( xj ，t) = ^ fi ( Xk，t) ( 15) 式中，fi 和 ^ fi 是单值连续一阶导数． 由此，在 ALE 描 述中，守恒方程用网格计算节点的速度( 此处等于 固体速度 us j ) 来修改． Eulerian-Lagrangian 形式的质 · 6361 ·