M=- (9.15) 注意到x Re[zo()++()+()], U=Re[Ep(e)+(e小，最终得到M=Re[x(e)-y(e)-0(e片。 9.4复势函数0、w的确定程度 以复势函数表示应力为 o,+ox=2(p'(z)+p'(z)=4Re(p'(z) 0,-0.+2iπ=2(E0"(z)+w'(z》) 假设9、p2、、2都满足上式 R(g-p2)=0,g=p2'+iC,C实常数 两边积分，得0，=02+iCz+y,y为复常数。所以，0，”=2”，三0”+41=z02”+2 =2,2=少1+Y这说明将p(z)用p+iCz+y,w(z)用Ψ+y'代替，应力保持不变。 因此，在不改变应力状态的条件下，可以任意选择C、y、Y 再看位移 2μ(u+im)=K0-z0-w(z) 以p+iCz+y代替p(z),y+y'代替w(z),得 2u(u+iv)=ko-zo'-+i(k-1)Cz+yk-y (9.16) 3-4v 平面应变 其中K= 3-v 。由此可见，如果位移场给定，必须C=0,yk-Y'=0,实 平面应力 1+v 际上，i(K-1)Cz代表刚体转动，-y'代表平移。 9.5平面问题的复变函数表达 应力、位移的复数表示，己满足弹性力学的全部方程，尚需考虑的只有边界条件的满足。 前面己经导出了边界上面力的合力和合力矩的复数表示形式。 F.+iF,-J(X.+iYds--ilo()+2+ (9.17 M=Relx(=)-W(=)-( (9.18)5 [ ] 0 0 P P P P U U MU x y x y ⎡ ∂ ∂ ⎤ =− + ⎢ ⎥ ⎣ ∂ ∂ ⎦ (9.15) 注意到 Re Re[ ( ) ( ) ( )] U U UU x y z i z z zz z z z x y xy ϕ ϕψ ∂ ∂ ∂∂ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + = − = ++ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ , U zz z = + Re[ ( ) ( )] ϕ χ ，最终得到 0 Re[ ( ) ( ) ( )]P M P = −− χψ ϕ z z z zz z ′ 。 9.4 复势函数ϕ 、ψ 的确定程度 以复势函数表示应力为 2( ( ) ( )) 4 Re( ( )) 2 2( ( ) ( )) y x y x xy zz z i zz z σσ ϕ ϕ ϕ σσ τ ϕ ψ += + = ′ ′ ′ −+ = + ′′ ′ 假设ϕ1、ϕ2 、ψ 1、ψ 2 都满足上式 Re( ) 0, , 12 12 ϕϕ ϕϕ ′′ ′′ −= + ＝ 实常数 iC C 两边积分，得 1 2 ϕ＝ϕ γ + + iCz ，γ 为复常数。所以， 12 11 2 2 ϕ ϕ ϕψ ϕψ , z z ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ = += + 1 22 1 ψ ψψ ψγ , ′ ′ = =+ ′ 这说明将ϕ( )z 用ϕ + iCz + γ ，ψ ( )z 用ψ + γ ′代替，应力保持不变。 因此，在不改变应力状态的条件下，可以任意选择C 、γ 、γ ′ 再看位移 2 ( ) () μ κϕ ϕ ψ u iv z z +=− −′ 以ϕ + + iCz γ 代替ϕ( )z ，ψ + γ ′代替ψ ( )z ，得 2 ( ) ( 1) μ u iv k z i Cz + = − −+ − + − ϕ ϕ ψ κ γκ γ ′ ′ (9.16) 其中 3 4 3 1 v v v κ ⎧ − ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎩ + 平面应变 平面应力 。由此可见，如果位移场给定，必须 C k = 0, ' 0 γ − = γ ，实 际上，i Cz ( 1) κ − 代表刚体转动，γκ γ − ′ 代表平移。 9.5 平面问题的复变函数表达 应力、位移的复数表示，已满足弹性力学的全部方程，尚需考虑的只有边界条件的满足。 前面已经导出了边界上面力的合力和合力矩的复数表示形式。 0 0 ( ) [ ( ) ( ) ( )] P P x y nn P P F iF X iY ds i z z z z + = + =− + + ϕ ϕψ ′ ∫ (9.17) 0 Re[ ( ) ( ) ( )]P M P = −− χψ ϕ z z z zz z ′ (9.18)