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第3期 商铁军等：齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 .389 与时变累积量函数来描述， 信号通过简单的非线性变换，就可以得到表示信号 非平稳信号本身有时并未显含正弦波分量，但 频率特征的循环频率信息，在齿轮监测与故障诊断 其均值或累积量随时间表现出明显的周期或多周期 中，齿轮故障的周期冲击分量的频率特征可以用循 的变化规律，并且周期成分与原信号相同. 环频率来表示 由累积量的性质可以看出③]：在信号分析与处 理中使用累积量谱，可以有效抑制噪声的干扰：其中 2理论与仿真分析 循环高阶累积量谱理论上可抑制任何（高斯或非高 正常运行的齿轮啮合时，主要表现为啮合频率 斯)噪声和非平稳的高斯噪声；能够恢复时变相位信 及其谐波振动成分，当发生故障时会使齿轮振动信 息；可以表征非线性， 号发生变化，影响其幅值和频率（相位）的变化，产生 循环平稳信号处理实际上并不是刚出现的信号 幅值和频率调制现象].一般地，齿轮振动信号 处理方法，然而对它的深入研究与工程应用却是近 中啮合频率及其谐波成分可表示为： 些年才兴起的.它的研究对象是非平稳信号中的一 x(t)= 类特殊信号一循环平稳信号，是对非平稳性表现 为周期平稳性信号的一种有效处理方法，齿轮、轴 Am[1+am (t)]cos[2nmf:t+mbm(t)] 承等振动信号具有明显的二阶周期平稳特性]， (4) 通常把统计特性呈周期或多周期（各周期不能 式中，am(t)为幅值调制函数，bm(t)为相位调制函 通约)平稳变化的信号统称为循环平稳或周期平稳 数，Am为谐波幅值，中m为谐波相位，∫：为齿轮的啮 信号.根据所呈现的周期性的统计数字特性，循环 合频率. 平稳信号进一步可分为一阶（均值）、二阶（相关函 当齿轮发生损伤类故障时，齿轮振动信号主要 数)和高阶（高阶累积量）循环平稳[]. 表现为幅值调制现象，当频率调制现象影响微弱时， 循环平稳信号的处理方法基于循环统计理论， 忽略不计，为方便计算和体现齿轮发生损伤类故障 具有周期性变化的统计量称为循环统计量，循环统 时的幅值调制振动信号特点，基于式(4)选取仿真模 计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时 型为： 变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循 x(t)=A[1+Bcos(2πfnt)]cos(2πfzt十0)+n(t) 环频率时间滞后平面图来描述信号，抽取信号时 (5) 变统计量中的周期信息， 式中，n(t)是均值为零、方差为1的白噪声，A为信 随机信号x(t)的时变相关函数定义为： 号幅值，B为调幅的调制指数，0为相位，∫。为幅值 Rx(t,t)=EIx(t)x(t-) (1) 调制频率，∫z为载波频率 由于Rx(t,t)是周期函数，R.(t,t)可以用Fourier 设n(t)=0,则式(5)变为： 级数展开，且Fourier系数为： x(t)=A[1+Bcos(2πfnt)]cos[2πfzt+0](6) ()-打ne产4- 对信号x(t)进行二次非线性变换，可得到： y(t)=x(t)x*(t十t)= 1「T/2 ()()e dt (2) A2cos(2πf2t+0)cos[2πf2(t+t)十0]· 记为： 1+Bcos(2πfnt)+Bcos[2πfn(t+t)]+ R(t)x(t)x*(t-)e2%, (3) Bcos(2πfnt)cos[2πfn(t+t)]} (7) 系数R(τ)表示频率为α的循环相关强度，是延迟 根据循环自相关函数定义，则有： 时间τ的函数，简称为循环（自）相关函数，习惯上 R2.(t)x(t)x*(t十t)exp(一j2πt》,= 把R()≠0的频率α称为信号x(t)的循环频率， 〈y(t)exp(一j2rt》, (8) 循环频率a并不是完全不同于经典Fourier谱 将式(7)代入式(8)，求得信号x(t)的循环自相关函 分析中频率∫的新一维的变换域，其实质与∫一 数Rx(t),取=0，t=0,由于循环自相关函数关 样，从物理意义上讲都表示信号的频率。循环平稳 于α=0的对称性，只取0时，得到：与时变累积量函数来描述． 非平稳信号本身有时并未显含正弦波分量但 其均值或累积量随时间表现出明显的周期或多周期 的变化规律并且周期成分与原信号相同． 由累积量的性质可以看出［3］：在信号分析与处 理中使用累积量谱可以有效抑制噪声的干扰；其中 循环高阶累积量谱理论上可抑制任何（高斯或非高 斯）噪声和非平稳的高斯噪声；能够恢复时变相位信 息；可以表征非线性． 循环平稳信号处理实际上并不是刚出现的信号 处理方法然而对它的深入研究与工程应用却是近 些年才兴起的．它的研究对象是非平稳信号中的一 类特殊信号———循环平稳信号是对非平稳性表现 为周期平稳性信号的一种有效处理方法．齿轮、轴 承等振动信号具有明显的二阶周期平稳特性［4—5］． 通常把统计特性呈周期或多周期（各周期不能 通约）平稳变化的信号统称为循环平稳或周期平稳 信号．根据所呈现的周期性的统计数字特性循环 平稳信号进一步可分为一阶（均值）、二阶（相关函 数）和高阶（高阶累积量）循环平稳［6］． 循环平稳信号的处理方法基于循环统计理论 具有周期性变化的统计量称为循环统计量．循环统 计方法是研究信号统计量的周期结构它直接对时 变统计量进行非线性变换得到循环统计量并用循 环频率—时间滞后平面图来描述信号抽取信号时 变统计量中的周期信息． 随机信号 x（ t）的时变相关函数定义为： Rx（ tτ）＝E｛x（ t） x ∗（ t—τ）｝ （1） 由于 Rx（ tτ）是周期函数Rx （ tτ）可以用 Fourier 级数展开且 Fourier 系数为： R α x（τ）＝ 1 T∫ T／2 —T／2 R α x（ tτ）e —j2παt d t＝ limT→∞ 1 T∫ T／2 —T／2 x（ t） x ∗（ t—τ）e —j2παt d t （2） 记为： R α x（ t）＝〈x（ t） x ∗（ t—τ）e —j2παt〉t （3） 系数 R α x（τ）表示频率为 α的循环相关强度是延迟 时间 τ的函数简称为循环（自）相关函数．习惯上 把 R α x（τ）≠0的频率 α称为信号 x（ t）的循环频率． 循环频率 α并不是完全不同于经典 Fourier 谱 分析中频率 f 的新一维的变换域其实质与 f 一 样从物理意义上讲都表示信号的频率．循环平稳 信号通过简单的非线性变换就可以得到表示信号 频率特征的循环频率信息．在齿轮监测与故障诊断 中齿轮故障的周期冲击分量的频率特征可以用循 环频率来表示． 2 理论与仿真分析 正常运行的齿轮啮合时主要表现为啮合频率 及其谐波振动成分当发生故障时会使齿轮振动信 号发生变化影响其幅值和频率（相位）的变化产生 幅值和频率调制现象［7—8］．一般地齿轮振动信号 中啮合频率及其谐波成分可表示为： x（ t）＝ ∑ N m＝0 A m ［1＋ am（ t）］cos［2πmf z t＋●m＋bm（ t）］ （4） 式中am（ t）为幅值调制函数bm （ t）为相位调制函 数A m 为谐波幅值●m 为谐波相位f z 为齿轮的啮 合频率． 当齿轮发生损伤类故障时齿轮振动信号主要 表现为幅值调制现象当频率调制现象影响微弱时 忽略不计．为方便计算和体现齿轮发生损伤类故障 时的幅值调制振动信号特点基于式（4）选取仿真模 型为： x（ t）＝ A ［1＋Bcos（2πf n t）］cos（2πfz t＋θ）＋ n（ t） （5） 式中n（ t）是均值为零、方差为1的白噪声A 为信 号幅值B 为调幅的调制指数θ为相位f n 为幅值 调制频率fz 为载波频率． 设 n（ t）＝0则式（5）变为： x（ t）＝ A ［1＋Bcos（2πf n t）］cos［2πfz t＋θ］ （6） 对信号 x（ t）进行二次非线性变换可得到： y（ t）＝ x（ t） x ∗（ t＋τ）＝ A 2cos（2πfz t＋θ）cos［2πfz（ t＋τ）＋θ］· ｛1＋Bcos（2πf n t）＋Bcos［2πf n（ t＋τ）］＋ B 2cos（2πf n t）cos［2πf n（ t＋τ）］｝ （7） 根据循环自相关函数定义则有： R α 2x（τ）＝〈x（ t） x ∗（ t＋τ）exp（—j2παt）〉t＝ 〈y（ t）exp（—j2παt）〉t （8） 将式（7）代入式（8）求得信号 x（ t）的循环自相关函 数 R α 2x（τ）．取θ＝0τ＝0由于循环自相关函数关 于 α＝0的对称性只取 α＞0时得到： 第3期 商铁军等： 齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 ·389·