D0I:10.13374/1.issnl00103.2009.03.045 第31卷第3期 北京科技大学学报 Vol.31 No.3 2009年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2009 齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 商铁军张文明刘立冯志鹏白佳宾 北京科技大学车辆工程研究所，北京100083 摘要针对齿轮局部损伤故障振动信号的特点，在对其数学模型进行循环平稳性理论分析的基础上，定义并解释了幅值调 制能量比系数概念及其算法，通过仿真分析，基于信号累积量的循环相关分析算法不仅能完整地保留信号中的周期成分，还 具有较好地抑制加性平稳噪声的优点，利于幅值调制能量比系数指标的提取·实验表明，结合齿轮运转的样本数据，幅值调制 能量比系数值随着齿轮局部损伤程度的加大而增大·该方法可以发现齿轮在运转中某轮齿发生的局部损伤故障及损伤程度 关键词齿轮；故障诊断；累积量：循环平稳 分类号TH132.41:TN911.7 Vibration signals of gear damage based on cyclostationary SHA NG Tie-jun,ZHA NG Wen-ming.LIU Li,FENG Zhi-peng,BAI Jia-bin Institute of Vehicular Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The concept of amplitude modulation energy ratio coefficient was defined and an algorithm for the coefficient was ex- plained on the base of cyclostationarity analysis on the mathematical model of gear damage vibration signals.Simulation analysis indi- cates that the method based on cumulant cyclic correlation is effective in suppressing additive stationary noise and in extracting modu- lation information.Experimental data of localized gear damage was analyzed and the results show that the energy ratio coefficient in- creases with increasing damage degree in slightly localized gear damage.This coefficient can be used to indicate the localized gear dam- age degree. KEY WORDS gear:fault diagnosis:cumulant:cyclostationary 齿轮是传递动力和旋转运动的关键部件，广泛 差，以及峭度、波形指标、脉冲指标和裕度指标等 应用于各种机械设备之中，齿轮振动主要由齿轮的 这些指标都是基于假定齿轮振动信号为平稳随机信 啮合效应和旋转运动引起，信号在时域内可能表现 号的统计特征参量，虽然在一定程度上反应了齿轮 为幅值调制和相位调制过程，同时，现场测试信号 振动信号的特点，至今仍具有应用价值，但这些指标 经过轴一轴承一轴承座传递之后，齿轮振动的特征 在反应齿轮振动信号的时变特征时存在一定缺 信息衰减损耗较大，其中还会混杂多种其他零部件 陷).因此，针对齿轮局部损伤故障振动信号的循 振动产生的噪声干扰，用常规的频谱分析识别齿轮 环平稳性特点，研究基于时变统计量的循环平稳特 的异常原因时存在一定难度山，如何从成分复杂、 征参量作为齿轮损伤故障诊断的特征指标，具有重 背景噪声强的现场测试信号中有效地提取调制信息 要意义， 特征，识别调制信息在不同故障状态下的振动信号 1循环平稳信号分析方法 中的特点，对于齿轮故障诊断而言是非常值得研 究的· 非平稳信号的时变特性是由时变矩函数与时变 齿轮损伤故障判别的指标通常有时域指标和频 累积量函数描述的·作为非平稳信号的一种特殊情 谱指标，其中时域指标包括峰值、均值、均方值和方 况，循环平稳信号的时变特性也可以由时变矩函数 收稿日期：2008-04-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·50705007):教育部留学回国人员科研启动基金资助项目 作者简介：商铁军(1971一)，男.工程师，博士，E mail:tiejunshang@126,com
齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 商铁军 张文明 刘 立 冯志鹏 白佳宾 北京科技大学车辆工程研究所北京100083 摘 要 针对齿轮局部损伤故障振动信号的特点在对其数学模型进行循环平稳性理论分析的基础上定义并解释了幅值调 制能量比系数概念及其算法．通过仿真分析基于信号累积量的循环相关分析算法不仅能完整地保留信号中的周期成分还 具有较好地抑制加性平稳噪声的优点利于幅值调制能量比系数指标的提取．实验表明结合齿轮运转的样本数据幅值调制 能量比系数值随着齿轮局部损伤程度的加大而增大．该方法可以发现齿轮在运转中某轮齿发生的局部损伤故障及损伤程度． 关键词 齿轮；故障诊断；累积量；循环平稳 分类号 T H132∙41；T N911∙7 Vibration signals of gear damage based on cyclostationary SHA NG Tie-junZHA NG Wen-mingLIU LiFENG Zh-i pengBAI Jia-bin Institute of Vehicular EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he concept of amplitude modulation energy ratio coefficient was defined and an algorithm for the coefficient was explained on the base of cyclostationarity analysis on the mathematical model of gear damage vibration signals．Simulation analysis indicates that the method based on cumulant cyclic correlation is effective in suppressing additive stationary noise and in extracting modulation information．Experimental data of localized gear damage was analyzed and the results show that the energy ratio coefficient increases with increasing damage degree in slightly localized gear damage．T his coefficient can be used to indicate the localized gear damage degree． KEY WORDS gear；fault diagnosis；cumulant；cyclostationary 收稿日期：2008-04-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50705007）；教育部留学回国人员科研启动基金资助项目 作者简介：商铁军（1971—）男工程师博士E-mail：tiejunshang＠126．com 齿轮是传递动力和旋转运动的关键部件广泛 应用于各种机械设备之中．齿轮振动主要由齿轮的 啮合效应和旋转运动引起信号在时域内可能表现 为幅值调制和相位调制过程．同时现场测试信号 经过轴—轴承—轴承座传递之后齿轮振动的特征 信息衰减损耗较大其中还会混杂多种其他零部件 振动产生的噪声干扰用常规的频谱分析识别齿轮 的异常原因时存在一定难度［1］．如何从成分复杂、 背景噪声强的现场测试信号中有效地提取调制信息 特征识别调制信息在不同故障状态下的振动信号 中的特点对于齿轮故障诊断而言是非常值得研 究的． 齿轮损伤故障判别的指标通常有时域指标和频 谱指标．其中时域指标包括峰值、均值、均方值和方 差以及峭度、波形指标、脉冲指标和裕度指标等． 这些指标都是基于假定齿轮振动信号为平稳随机信 号的统计特征参量虽然在一定程度上反应了齿轮 振动信号的特点至今仍具有应用价值但这些指标 在反应齿轮振动信号的时变特征时存在一定缺 陷［2］．因此针对齿轮局部损伤故障振动信号的循 环平稳性特点研究基于时变统计量的循环平稳特 征参量作为齿轮损伤故障诊断的特征指标具有重 要意义． 1 循环平稳信号分析方法 非平稳信号的时变特性是由时变矩函数与时变 累积量函数描述的．作为非平稳信号的一种特殊情 况循环平稳信号的时变特性也可以由时变矩函数 第31卷 第3期 2009年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．3 Mar．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．03．045
第3期 商铁军等：齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 .389 与时变累积量函数来描述， 信号通过简单的非线性变换，就可以得到表示信号 非平稳信号本身有时并未显含正弦波分量，但 频率特征的循环频率信息，在齿轮监测与故障诊断 其均值或累积量随时间表现出明显的周期或多周期 中，齿轮故障的周期冲击分量的频率特征可以用循 的变化规律，并且周期成分与原信号相同. 环频率来表示 由累积量的性质可以看出③]：在信号分析与处 理中使用累积量谱，可以有效抑制噪声的干扰：其中 2理论与仿真分析 循环高阶累积量谱理论上可抑制任何（高斯或非高 正常运行的齿轮啮合时，主要表现为啮合频率 斯)噪声和非平稳的高斯噪声；能够恢复时变相位信 及其谐波振动成分，当发生故障时会使齿轮振动信 息；可以表征非线性， 号发生变化，影响其幅值和频率（相位）的变化，产生 循环平稳信号处理实际上并不是刚出现的信号 幅值和频率调制现象].一般地，齿轮振动信号 处理方法，然而对它的深入研究与工程应用却是近 中啮合频率及其谐波成分可表示为： 些年才兴起的.它的研究对象是非平稳信号中的一 x(t)= 类特殊信号一循环平稳信号，是对非平稳性表现 为周期平稳性信号的一种有效处理方法，齿轮、轴 Am[1+am (t)]cos[2nmf:t+mbm(t)] 承等振动信号具有明显的二阶周期平稳特性]， (4) 通常把统计特性呈周期或多周期（各周期不能 式中，am(t)为幅值调制函数，bm(t)为相位调制函 通约)平稳变化的信号统称为循环平稳或周期平稳 数，Am为谐波幅值，中m为谐波相位，∫：为齿轮的啮 信号.根据所呈现的周期性的统计数字特性，循环 合频率. 平稳信号进一步可分为一阶（均值）、二阶（相关函 当齿轮发生损伤类故障时，齿轮振动信号主要 数)和高阶（高阶累积量）循环平稳[]. 表现为幅值调制现象，当频率调制现象影响微弱时， 循环平稳信号的处理方法基于循环统计理论， 忽略不计，为方便计算和体现齿轮发生损伤类故障 具有周期性变化的统计量称为循环统计量，循环统 时的幅值调制振动信号特点，基于式(4)选取仿真模 计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时 型为： 变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循 x(t)=A[1+Bcos(2πfnt)]cos(2πfzt十0)+n(t) 环频率时间滞后平面图来描述信号，抽取信号时 (5) 变统计量中的周期信息， 式中，n(t)是均值为零、方差为1的白噪声，A为信 随机信号x(t)的时变相关函数定义为： 号幅值，B为调幅的调制指数，0为相位，∫。为幅值 Rx(t,t)=EIx(t)x(t-) (1) 调制频率，∫z为载波频率 由于Rx(t,t)是周期函数，R.(t,t)可以用Fourier 设n(t)=0,则式(5)变为： 级数展开，且Fourier系数为： x(t)=A[1+Bcos(2πfnt)]cos[2πfzt+0](6) ()-打ne产4- 对信号x(t)进行二次非线性变换，可得到： y(t)=x(t)x*(t十t)= 1「T/2 ()()e dt (2) A2cos(2πf2t+0)cos[2πf2(t+t)十0]· 记为： 1+Bcos(2πfnt)+Bcos[2πfn(t+t)]+ R(t)x(t)x*(t-)e2%, (3) Bcos(2πfnt)cos[2πfn(t+t)]} (7) 系数R(τ)表示频率为α的循环相关强度，是延迟 根据循环自相关函数定义，则有： 时间τ的函数，简称为循环（自）相关函数，习惯上 R2.(t)x(t)x*(t十t)exp(一j2πt》,= 把R()≠0的频率α称为信号x(t)的循环频率， 〈y(t)exp(一j2rt》, (8) 循环频率a并不是完全不同于经典Fourier谱 将式(7)代入式(8)，求得信号x(t)的循环自相关函 分析中频率∫的新一维的变换域，其实质与∫一 数Rx(t),取=0，t=0,由于循环自相关函数关 样，从物理意义上讲都表示信号的频率。循环平稳 于α=0的对称性，只取0时，得到：
与时变累积量函数来描述． 非平稳信号本身有时并未显含正弦波分量但 其均值或累积量随时间表现出明显的周期或多周期 的变化规律并且周期成分与原信号相同． 由累积量的性质可以看出［3］：在信号分析与处 理中使用累积量谱可以有效抑制噪声的干扰；其中 循环高阶累积量谱理论上可抑制任何（高斯或非高 斯）噪声和非平稳的高斯噪声；能够恢复时变相位信 息；可以表征非线性． 循环平稳信号处理实际上并不是刚出现的信号 处理方法然而对它的深入研究与工程应用却是近 些年才兴起的．它的研究对象是非平稳信号中的一 类特殊信号———循环平稳信号是对非平稳性表现 为周期平稳性信号的一种有效处理方法．齿轮、轴 承等振动信号具有明显的二阶周期平稳特性［4—5］． 通常把统计特性呈周期或多周期（各周期不能 通约）平稳变化的信号统称为循环平稳或周期平稳 信号．根据所呈现的周期性的统计数字特性循环 平稳信号进一步可分为一阶（均值）、二阶（相关函 数）和高阶（高阶累积量）循环平稳［6］． 循环平稳信号的处理方法基于循环统计理论 具有周期性变化的统计量称为循环统计量．循环统 计方法是研究信号统计量的周期结构它直接对时 变统计量进行非线性变换得到循环统计量并用循 环频率—时间滞后平面图来描述信号抽取信号时 变统计量中的周期信息． 随机信号 x（ t）的时变相关函数定义为： Rx（ tτ）＝E｛x（ t） x ∗（ t—τ）｝ （1） 由于 Rx（ tτ）是周期函数Rx （ tτ）可以用 Fourier 级数展开且 Fourier 系数为： R α x（τ）＝ 1 T∫ T／2 —T／2 R α x（ tτ）e —j2παt d t＝ limT→∞ 1 T∫ T／2 —T／2 x（ t） x ∗（ t—τ）e —j2παt d t （2） 记为： R α x（ t）＝〈x（ t） x ∗（ t—τ）e —j2παt〉t （3） 系数 R α x（τ）表示频率为 α的循环相关强度是延迟 时间 τ的函数简称为循环（自）相关函数．习惯上 把 R α x（τ）≠0的频率 α称为信号 x（ t）的循环频率． 循环频率 α并不是完全不同于经典 Fourier 谱 分析中频率 f 的新一维的变换域其实质与 f 一 样从物理意义上讲都表示信号的频率．循环平稳 信号通过简单的非线性变换就可以得到表示信号 频率特征的循环频率信息．在齿轮监测与故障诊断 中齿轮故障的周期冲击分量的频率特征可以用循 环频率来表示． 2 理论与仿真分析 正常运行的齿轮啮合时主要表现为啮合频率 及其谐波振动成分当发生故障时会使齿轮振动信 号发生变化影响其幅值和频率（相位）的变化产生 幅值和频率调制现象［7—8］．一般地齿轮振动信号 中啮合频率及其谐波成分可表示为： x（ t）＝ ∑ N m＝0 A m ［1＋ am（ t）］cos［2πmf z t＋●m＋bm（ t）］ （4） 式中am（ t）为幅值调制函数bm （ t）为相位调制函 数A m 为谐波幅值●m 为谐波相位f z 为齿轮的啮 合频率． 当齿轮发生损伤类故障时齿轮振动信号主要 表现为幅值调制现象当频率调制现象影响微弱时 忽略不计．为方便计算和体现齿轮发生损伤类故障 时的幅值调制振动信号特点基于式（4）选取仿真模 型为： x（ t）＝ A ［1＋Bcos（2πf n t）］cos（2πfz t＋θ）＋ n（ t） （5） 式中n（ t）是均值为零、方差为1的白噪声A 为信 号幅值B 为调幅的调制指数θ为相位f n 为幅值 调制频率fz 为载波频率． 设 n（ t）＝0则式（5）变为： x（ t）＝ A ［1＋Bcos（2πf n t）］cos［2πfz t＋θ］ （6） 对信号 x（ t）进行二次非线性变换可得到： y（ t）＝ x（ t） x ∗（ t＋τ）＝ A 2cos（2πfz t＋θ）cos［2πfz（ t＋τ）＋θ］· ｛1＋Bcos（2πf n t）＋Bcos［2πf n（ t＋τ）］＋ B 2cos（2πf n t）cos［2πf n（ t＋τ）］｝ （7） 根据循环自相关函数定义则有： R α 2x（τ）＝〈x（ t） x ∗（ t＋τ）exp（—j2παt）〉t＝ 〈y（ t）exp（—j2παt）〉t （8） 将式（7）代入式（8）求得信号 x（ t）的循环自相关函 数 R α 2x（τ）．取θ＝0τ＝0由于循环自相关函数关 于 α＝0的对称性只取 α＞0时得到： 第3期 商铁军等： 齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 ·389·
.390. 北京科技大学学报 第31卷 {1+号 接相关 2 a=0 研究平Ψ的大小变化，即讨论∫(B)的单调性问 A 2 a-fn 题由)2得了()色针得所以 （AB)2 8 a-2fn 当一20,函数f(B)为单调增 R2.(t=0) + (9) 函数：当B>2或B0. A2B 即：当0 仿真分析，其中f.=16出和f2=338h,则可得到 B,说明信号中载波信号能量大于调制信号能量，信 循环相关谱图见图1. 号将以载波信号成分为主；反之，信号将以调制信号 1.0 成分为主；若A=B,说明两者在信号中的能量成分 地位相当， 联系实际中的齿轮振动信号特点分析如下， (1)当齿轮正常运转时，实际测试的齿轮振动 200 400600 8001000 循环频率Hz 信号中主要是啮合频率（载波频率）成分，同时混有 微弱的转轴转频（调制频率）成分和干扰噪声.与模 图1仿真信号循环相关分析谱图(=0) 型信号相比，相当于A>B. FigI Cyclic auto correlation spectrogram of simulation signal 0) (2)当齿轮轮齿出现局部微弱损伤故障时，齿 轮振动信号表现出以幅值调制现象为主，同时伴随 在图1仿真信号循环自相关谱图中，循环频率 微弱频率调制现象（对于循环自相关分析而言，微弱 为fn,2fn,2fz,2f2土fa,2f2士2fn处清晰地出现了 的频率调制现象对分析结果影响很小，因而本文仿 峰值；仿真信号模型的特征循环频率分为低频和高 真时忽略了微弱频率调制现象的影响)，随着故障程 频两部分，低频部分表现为调制频率及其谐波频率 度不断加大，齿轮振动信号中的调制频率（转轴转 成分；高频部分表现为2倍的载波频率及与其相距 频)成分能量也会不断加大，直至与载波频率（啮合 为低频特征循环频率的边带频成分.其中，循环频 频率)成分能量相当，甚至超过载波频率（啮合频率） 率为调制一倍频∫。和载波二倍频2∫z处峰值明显， 成分能量，成为信号中的主要能量成分.与模型信 循环自相关强度较大·当调制信号能量和载波信号 号相比，相当于B值在增大，即平值在一定条件下 能量发生变化时，根据调制信号循环自相关解调性 会随B值增大而增大，当齿轮轮齿出现严重的损伤 质的特点，这两个循环频率处的循环自相关强度变 故障时，齿轮振动信号表现出较明显的调幅调频现 化情况值得研究 象，此时调频现象的影响不能忽略；由于此时故障现 设幅值调制能量比系数平为： 象明显，容易实现故障特征提取和判断，因而本文没 y=(c=0 有考虑严重时的情况， R2元2(x=0) (10) (③)实际应用中，只要运用简单的幅值归一化 处理就可以使采集到的信号时域幅值变换到符合转 将式(9)代入式(10)可得： 频成分幅值的绝对值小于2的要求，这相当于将B 2 值限定在使式(11)中f(B)单调增区间，这种变换 亚= 4B (11) + 2+B2=f(B) 对齿轮振动信号的性质不会产生影响， 4 上述分析表明，可以利用平值的大小来确定幅 由式(11)可知，Ψ的大小与A无关，只与f(B)的大 值调制信号中调制频率成分能量和载波成分能量在 小相关，由仿真模型式(5)可以得出，调制信息的能 信号中的比例关系 量大小在∫。一定的情况下应当与参数B的大小直 由于信号累积量能较好地保留循环平稳信号中
R α 2x（τ＝0）＝ A 2 2 1＋ B 2 α＝0 A 2B 2 α＝ f n （ AB） 2 8 α＝2f n A 2 4 1＋ B 2 2 α＝2fz A 2B 4 α＝2fz± f n （ AB） 2 16 α＝2fz±2f n （9） 对信号 x（ t）＝［1＋cos（2πf n t）］cos（2πfz t）作 仿真分析其中 f n＝16Hz 和 fz＝338Hz则可得到 循环相关谱图见图1． 图1 仿真信号循环相关分析谱图（τ＝0） Fig．1 Cyclic auto-correlation spectrogram of simulation signal （τ＝ 0） 在图1仿真信号循环自相关谱图中循环频率 为 f n2f n2fz2fz± f n2fz±2f n 处清晰地出现了 峰值；仿真信号模型的特征循环频率分为低频和高 频两部分．低频部分表现为调制频率及其谐波频率 成分；高频部分表现为2倍的载波频率及与其相距 为低频特征循环频率的边带频成分．其中循环频 率为调制一倍频 f n 和载波二倍频2fz 处峰值明显 循环自相关强度较大．当调制信号能量和载波信号 能量发生变化时根据调制信号循环自相关解调性 质的特点这两个循环频率处的循环自相关强度变 化情况值得研究． 设幅值调制能量比系数 Ψ为： Ψ＝ R α＝ f n 2x （τ＝0） R α＝2f z 2x （τ＝0） （10） 将式（9）代入式（10）可得： Ψ＝ A 2B 2 A 2 4 1＋ B 2 2 ＝ 4B 2＋B 2＝ f （B） （11） 由式（11）可知Ψ的大小与 A 无关只与 f （B）的大 小相关．由仿真模型式（5）可以得出调制信息的能 量大小在 f n 一定的情况下应当与参数 B 的大小直 接相关． 研究 Ψ的大小变化即讨论 f （ B）的单调性问 题．由 f （B）＝ 4B 2＋B 2得 f′（ B）＝ 8—4B 2 （2＋B 2） 2．所以 当— 2＜B＜ 2时f′（B）＞0函数 f （B）为单调增 函数；当 B＞ 2或 B＜— 2f′（ B）＜0函数 f （ B） 为单调减函数．根据 B 的物理意义可知B ＞0． 即：当0＜B＜ 2时函数 f （B）为单调增函数；Ψ将 随着 B 的增大而增大． 分析模型（5）信号 x（ t）的幅值受系数 A 和 B 的影响；而 A 和 B 的大小在仿真信号模型中分别代 表着载波信号能量和调制信号能量的大小．若 A ＞ B说明信号中载波信号能量大于调制信号能量信 号将以载波信号成分为主；反之信号将以调制信号 成分为主；若 A＝B说明两者在信号中的能量成分 地位相当． 联系实际中的齿轮振动信号特点分析如下． （1） 当齿轮正常运转时实际测试的齿轮振动 信号中主要是啮合频率（载波频率）成分同时混有 微弱的转轴转频（调制频率）成分和干扰噪声．与模 型信号相比相当于 A＞B． （2） 当齿轮轮齿出现局部微弱损伤故障时齿 轮振动信号表现出以幅值调制现象为主同时伴随 微弱频率调制现象（对于循环自相关分析而言微弱 的频率调制现象对分析结果影响很小因而本文仿 真时忽略了微弱频率调制现象的影响）随着故障程 度不断加大齿轮振动信号中的调制频率（转轴转 频）成分能量也会不断加大直至与载波频率（啮合 频率）成分能量相当甚至超过载波频率（啮合频率） 成分能量成为信号中的主要能量成分．与模型信 号相比相当于 B 值在增大即 Ψ值在一定条件下 会随 B 值增大而增大．当齿轮轮齿出现严重的损伤 故障时齿轮振动信号表现出较明显的调幅调频现 象此时调频现象的影响不能忽略；由于此时故障现 象明显容易实现故障特征提取和判断因而本文没 有考虑严重时的情况． （3） 实际应用中只要运用简单的幅值归一化 处理就可以使采集到的信号时域幅值变换到符合转 频成分幅值的绝对值小于 2的要求这相当于将 B 值限定在使式（11）中 f （ B）单调增区间这种变换 对齿轮振动信号的性质不会产生影响． 上述分析表明可以利用 Ψ值的大小来确定幅 值调制信号中调制频率成分能量和载波成分能量在 信号中的比例关系． 由于信号累积量能较好地保留循环平稳信号中 ·390· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第3期 商铁军等：齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 .391. 的周期成分和良好的降噪效果，运用累积量的循环 比定义为幅值调制能量比系数，这个系数是一个量 相关分析将会取得更为理想的分析结果， 纲1的变量，算法如下： 为方便计算和体现齿轮调制的整体情况，选取 R6(r=0) 仿真模型为： 亚= R(=0) (15) x(t)=A[1+Bcos(2πfnt)]cos[2πf2t+ Bsin(2πfnt)]十n(t) (12) 幅值调制能量比系数可以反应出调制信息与载 式中，A=1,B=1,B=0.5,fm=16h,f2=338h, 波信息在信号中的能量大小.幅值调制能量比系数 n(t)是均值为零、方差为1的白噪声.其二阶累积 越小，说明载波成分能量越大，信号中以载波成分为 量为： 主；反之，说明调制成分的能量在信号中逐渐增强， C2x()=cum(x(t),x(t+)(13) 乃至成为信号中的主要能量成分 式中，cum()表示随机信号的累积量，1为累积量 图2(a)~(d)分别为仿真信号时域图、频谱图、 的延时 循环自相关谱图（τ=0切片谱）以及二阶累积量循 由式(2)和(13)可得到信号二阶累积量循环自 环自相关谱图(t=0切片谱)·由图2中可以看出： 相关强度为： 仿真信号的频谱分析只在频率338和354处出 R82.（)= 现了较明显峰值：仿真信号的循环相关分析（τ=0 1∫T/2 切片谱)中虽然在循环频率16,676,690,706处 C2.()Ci,()exp(-j2xa)dt 出现了峰值，但受到噪声影响明显，特征提取受到干 (14) 扰：仿真信号的二阶累积量循环自相关分析谱图 对二阶累积量分别作傅里叶变换和循环自相关 (τ=0切片谱)中具有非常明显的降噪效果，使调制 分析，可以得到信号的二阶累积量频谱和二阶累积 频率和载波频率成分特征更为显著，尤其是二阶累 量循环自相关谱.在幅值调制信号的循环自相关分 积量能较好地保留了原仿真信号中的周期成分，不 析中，在τ=0的切片谱中会出现调制一倍频及载 仅在其循环相关谱图中可明显地看出解调出来的 波二倍频，且幅值较突出，变化较明显，这两个峰值 ∫。=16z调制频率的成分，同时在载波二倍频处 对幅值调制信号的调制信息和载波信息具有代表性. (676z)峰值特征明显，并出现了间隔为调制频率 由于累积量的傅里叶变换谱相当于信号的功率 的边频特征，理论证明，可以在齿轮局部损伤的故 谱，所以体现的是信号的能量变化情况，幅值调制 障诊断工程实际中，着重研究齿轮振动信号二阶累 信号的二阶累积量循环自相关谱中，将在τ=0切 积量的循环相关性分析，并将重点放在幅值调制能 片谱中的一倍幅值调制频率与二倍载波频率的幅值 量比系数与故障现象对比研究上将具有重要意义， 1.0 0.54 a以w-ent 02 0.4 200 4006008001000 时间s 類率Hz (a)时域图 (b)频谱图 0.4 0.05 0.2 l-w 200 400600800 1000 200 4006008001000 循环颊率Hz 循环频率Hz (©)循环自相关谱图 ()二阶累积量循环自相关谱图 图2仿真信号分析 Fig.2 Analysis of simulation signal 3实际应用 轮转频约为17Hz;采样频率为20000Hz,采样点数 为8192. 所分析的齿轮振动信号为齿轮箱的现场测试信 图3为测到的齿轮振动信号的时域波形，图中 号，小齿轮齿数为20，转速为1000rmin1;大齿轮 (a)~(d)四个波形分别为无故障状态、小齿轮某轮 齿数为21；齿轮啮合频率理论值约为334Hz,小齿 齿产生轻微局部剥落故障状态、剥落故障进一步发
的周期成分和良好的降噪效果运用累积量的循环 相关分析将会取得更为理想的分析结果． 为方便计算和体现齿轮调制的整体情况选取 仿真模型为： x（ t）＝ A ［1＋Bcos（2πf n t）］cos［2πfz t＋ βsin（2πf n t）］＋ n（ t） （12） 式中A＝1B＝1β＝0∙5f n＝16Hzfz＝338Hz n（ t）是均值为零、方差为1的白噪声．其二阶累积 量为： C2x（τ1）＝cum（ x（ t）x（ t＋τ1）） （13） 式中cum（·）表示随机信号的累积量τ1 为累积量 的延时． 由式（2）和（13）可得到信号二阶累积量循环自 相关强度为： R α C2x （τ）＝ limT→∞ 1 T∫ T／2 —T／2 C2x（τ1） C ∗ 2x（τ1—τ）exp（—j2παt）d t （14） 对二阶累积量分别作傅里叶变换和循环自相关 分析可以得到信号的二阶累积量频谱和二阶累积 量循环自相关谱．在幅值调制信号的循环自相关分 析中在 τ＝0的切片谱中会出现调制一倍频及载 波二倍频且幅值较突出变化较明显．这两个峰值 对幅值调制信号的调制信息和载波信息具有代表性． 由于累积量的傅里叶变换谱相当于信号的功率 谱所以体现的是信号的能量变化情况．幅值调制 信号的二阶累积量循环自相关谱中将在 τ＝0切 片谱中的一倍幅值调制频率与二倍载波频率的幅值 比定义为幅值调制能量比系数．这个系数是一个量 纲1的变量算法如下： Ψ＝ R α＝ f n C2x （τ＝0） R α＝2f z C2x （τ＝0） （15） 幅值调制能量比系数可以反应出调制信息与载 波信息在信号中的能量大小．幅值调制能量比系数 越小说明载波成分能量越大信号中以载波成分为 主；反之说明调制成分的能量在信号中逐渐增强 乃至成为信号中的主要能量成分． 图2（a）～（d）分别为仿真信号时域图、频谱图、 循环自相关谱图（τ＝0切片谱）以及二阶累积量循 环自相关谱图（τ＝0切片谱）．由图2中可以看出： 仿真信号的频谱分析只在频率338和354Hz 处出 现了较明显峰值；仿真信号的循环相关分析（τ＝0 切片谱）中虽然在循环频率16676690706Hz 处 出现了峰值但受到噪声影响明显特征提取受到干 扰；仿真信号的二阶累积量循环自相关分析谱图 （τ＝0切片谱）中具有非常明显的降噪效果使调制 频率和载波频率成分特征更为显著尤其是二阶累 积量能较好地保留了原仿真信号中的周期成分不 仅在其循环相关谱图中可明显地看出解调出来的 f n＝16Hz 调制频率的成分同时在载波二倍频处 （676Hz）峰值特征明显并出现了间隔为调制频率 的边频特征．理论证明可以在齿轮局部损伤的故 障诊断工程实际中着重研究齿轮振动信号二阶累 积量的循环相关性分析并将重点放在幅值调制能 量比系数与故障现象对比研究上将具有重要意义． 图2 仿真信号分析 Fig．2 Analysis of simulation signal 3 实际应用 所分析的齿轮振动信号为齿轮箱的现场测试信 号小齿轮齿数为20转速为1000r·min —1 ；大齿轮 齿数为21；齿轮啮合频率理论值约为334Hz小齿 轮转频约为17Hz；采样频率为20000Hz．采样点数 为8192． 图3为测到的齿轮振动信号的时域波形图中 （a）～（d）四个波形分别为无故障状态、小齿轮某轮 齿产生轻微局部剥落故障状态、剥落故障进一步发 第3期 商铁军等： 齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 ·391·
,392 北京科技大学学报 第31卷 展状态、剥落故障发展到较严重状态，从时域图中 无法分辨出故障及其损伤严重程度 0.5 0.5 0 -0.5 0.1 0.2 0. 0.56 0 0.2 0.3 04 时间，s 时间，s (a)无故障状态 (b)轻微故障状态 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 时间，s 时间，s (c)故障进一步发展状态 (d)较严重故障状态 图3齿轮振动信号时域波形图 Fig.3 Time-domain waveform of gear vibration signal 图4(a)(d)为该齿轮在图3相应四种状态下 轮在严重损伤状态下，时域波形有明显的周期冲击 的二阶累积量循环自相关谱图（τ=O),从谱图中可 波形出现，故障现象明显，这里没作比较)·可以看 以清晰识别出实际状态下的转频(18出)及其谐波 出：齿轮振动信号时域波形幅值在士0.5之间，符合 频和啮合二倍频（约为676）及其边带频，二阶累 幅值调制能量比系数随调幅成分能量增大而增大的 积量循环相关法降噪效果明显，利于调幅特征提取， 单调性要求；随着齿轮剥落损伤程度的加大，即信号 由式(15)计算该齿轮幅值调制能量比系数分别 中调幅成分能量增大，幅值调制能量比系数逐渐变 为Ψ1=0.3567，Ψ2=0.5007，Ψ3=0.8167，Ψ4= 大，因此通过对比幅值调制能量比系数，可以判断 2.3329(平1为无故障状态下幅值调制能量比系数， 齿轮发生局部损伤故障的程度，由于幅值调制能量 平2为轻微损伤状态下幅值调制能量比系数，平3为 比系数是一个量纲1的系数，可以较好地剔别除因每 损伤进一步发展状态下幅值调制能量比系数，平4 次测量时齿轮载荷变化及转速波动带来的影响 为较严重损伤状态下幅值调制能量比系数，因为齿 齿轮传动的振动主要是齿轮啮合激励振动，其 1500 600 (a) ,678 (b) :1098 400 X676 X:18 :18 Y368.5 5005y391.7 200.Y:184.5 200 400 600 800 1000 200 400600 800 1000 循环频率Hz 循环频率Hz 400r 800 (c) (d) 300 600 200X18 676 .ww)/ 400 :18 X674 100108.3 iu32.6 置 2005:178.3 Y:76.43 W 0 4 200 400 600 800 1000 200 400600 800 1000 循环频率Hz 循环频率Hz 图4齿轮振动信号二阶累积量循环相关谱图（τ=0） Fig.4 Second-order cumulant cyelic auto-correlation spectrogram of gear vibration signal (t=0) 主要成分是啮合频率分量幅值：若齿轮存在损伤类 从对齿轮不同损伤程度的二阶累积量循环自相 故障时，在齿轮啮合过程中，振动信号的幅值会发生 关分析中还可以看出：随着故障程度的不断加大，转 变化，产生幅值调制现象：随着损伤程度的加剧，幅 频在低频段的倍频成分越来越明显，且倍频数目呈 值调制现象将会越来越明显，当损伤程度达到一定 不断增加趋势，这说明信号中转频成分的能量在不 严重程度时，调制频率分量的能量会成为信号中的 断加大，进一步印证了齿轮由于剥落故障引起的调 主要激励振动能量，甚至代替啮合频率分量而成为 幅分量能量加大的真实情况 齿轮传动振动的主要成分，幅值调制能量比系数值 随着齿轮损伤程度的加大而呈现上升趋势（平1< 4结论 Ψ2<平3<平4)，是对这一现象的有力证明. 齿轮振动信号的二阶累积量循环相关分析可以
展状态、剥落故障发展到较严重状态．从时域图中 无法分辨出故障及其损伤严重程度． 图3 齿轮振动信号时域波形图 Fig．3 Time-domain waveform of gear vibration signal 图4（a）～（d）为该齿轮在图3相应四种状态下 的二阶累积量循环自相关谱图（τ＝0）．从谱图中可 以清晰识别出实际状态下的转频（18Hz）及其谐波 频和啮合二倍频（约为676Hz）及其边带频二阶累 积量循环相关法降噪效果明显利于调幅特征提取． 由式（15）计算该齿轮幅值调制能量比系数分别 为 Ψ1＝0∙3567Ψ2＝0∙5007Ψ3＝0∙8167Ψ4＝ 2∙3329（Ψ1 为无故障状态下幅值调制能量比系数 Ψ2 为轻微损伤状态下幅值调制能量比系数Ψ3 为 损伤进一步发展状态下幅值调制能量比系数Ψ4 为较严重损伤状态下幅值调制能量比系数．因为齿 轮在严重损伤状态下时域波形有明显的周期冲击 波形出现故障现象明显这里没作比较）．可以看 出：齿轮振动信号时域波形幅值在±0∙5之间符合 幅值调制能量比系数随调幅成分能量增大而增大的 单调性要求；随着齿轮剥落损伤程度的加大即信号 中调幅成分能量增大幅值调制能量比系数逐渐变 大．因此通过对比幅值调制能量比系数可以判断 齿轮发生局部损伤故障的程度．由于幅值调制能量 比系数是一个量纲1的系数可以较好地剔除因每 次测量时齿轮载荷变化及转速波动带来的影响． 齿轮传动的振动主要是齿轮啮合激励振动其 图4 齿轮振动信号二阶累积量循环相关谱图（τ＝0） Fig．4 Second-order cumulant cyclic auto-correlation spectrogram of gear vibration signal （τ＝0） 主要成分是啮合频率分量幅值；若齿轮存在损伤类 故障时在齿轮啮合过程中振动信号的幅值会发生 变化产生幅值调制现象；随着损伤程度的加剧幅 值调制现象将会越来越明显当损伤程度达到一定 严重程度时调制频率分量的能量会成为信号中的 主要激励振动能量甚至代替啮合频率分量而成为 齿轮传动振动的主要成分．幅值调制能量比系数值 随着齿轮损伤程度的加大而呈现上升趋势（ Ψ1＜ Ψ2＜Ψ3＜Ψ4）是对这一现象的有力证明． 从对齿轮不同损伤程度的二阶累积量循环自相 关分析中还可以看出：随着故障程度的不断加大转 频在低频段的倍频成分越来越明显且倍频数目呈 不断增加趋势．这说明信号中转频成分的能量在不 断加大进一步印证了齿轮由于剥落故障引起的调 幅分量能量加大的真实情况． 4 结论 齿轮振动信号的二阶累积量循环相关分析可以 ·392· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第3期 商铁军等：齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 .393. 较好地抑制信号中加性平稳噪声的干扰和保留低频 ing of signal.Hefei:University of Science and Technology of 周期成分信息，在齿轮轮齿因发生局部损伤故障产 China Press,2001:112 (沈风麟，叶中付，钱玉美，信号统计分析与处理.合肥：中国 生幅值调制现象时能清晰、准确地提取出调制信息 科学技术大学出版社，2001：112) 与载波信息，并计算出本文引入的幅值调制能量比 [4]Li L,Qu LL.Application of cyclic statistics to fault diagnosis of 系数大小.通过对比幅值调制能量比系数的大小， rolling bearings.J Vib Meas Diagn.2003.23(2):116 能够判断齿轮轮齿局部故障引起的调制成分能量占 (李力，屈梁生·循环统计量方法在滚动轴承故障诊断中的应 信号中的比重，幅值调制能量比系数可以作为齿轮 用.振动，测试与诊新，2003,23(2)：116) 局部故障判断的特征参量·实验结果分析表明，结 [5]HeJ.Chen J.Bi G.et al.Frequency demodulation analysis of degree of cylcostationary and its application to gear defect detee- 合齿轮正常运转的样本数据，该方法可以发现齿轮 tion.JShanghai Jicotong Univ.2007,41(11):1862 在运转中某轮齿发生的局部损伤故障及损伤程度， (何俊，陈进，毕果，等，循环平稳度解调频原理分析及其在齿轮 为旋转机械的实时监测和故障诊断提供依据， 故障诊断中的应用.上海交通大学学报，2007,41(11)：1862) [6]Zhang X D.Bao Z.A nalysis and Processing of Nonstationary 参考文献 Signal.Beijing:National Defense Industry Press.1998:325 (张贤达，保铮.非平稳信号分析与处理。北京：国防工业出版 [1]ZhuZ K.Feng Z H.Kong F R.Cyclostationarity analysis for 社，1998：.325) gearbox condition monitoring:approaches and effectiveness. [7]Walter Bartelmus.Mathematical modeling and computer simula- Mech Syst Signal Process.2005.19:467 tions as an aid to gearbox diagnostics.Mech Syst Signal Process. [2]Ding K.Kong Z G.He Z D.The principle and application of cy- 2001,15(5):855 clostationary analysis for demodulation of amplitude modulated sig- [8]Yuan X H.Cai LL.Variable amplitude Fourier series with its nls.J Vib Eng,2005,18(3):304 application in gearbox diagnosis:Part I.Principle and simula- (丁康，孔正国，何志达.振动调幅信号的循环平稳解调原理 tion.Mech Syst Signal Process.2005.19(5):1055 与应用.振动工程学报，2005,18(3)：304) [9]Mccormick A C.Nandi A K.Cyclostationarity in rotating ma- [3]Shen F L.YeZ F,Qian Y M.Statistical Analysis and Process chine vibrations.Mech Syst Signal Process.1998.12(2):225
较好地抑制信号中加性平稳噪声的干扰和保留低频 周期成分信息在齿轮轮齿因发生局部损伤故障产 生幅值调制现象时能清晰、准确地提取出调制信息 与载波信息并计算出本文引入的幅值调制能量比 系数大小．通过对比幅值调制能量比系数的大小 能够判断齿轮轮齿局部故障引起的调制成分能量占 信号中的比重．幅值调制能量比系数可以作为齿轮 局部故障判断的特征参量．实验结果分析表明结 合齿轮正常运转的样本数据该方法可以发现齿轮 在运转中某轮齿发生的局部损伤故障及损伤程度 为旋转机械的实时监测和故障诊断提供依据． 参 考 文 献 ［1］ Zhu Z KFeng Z HKong F R．Cyclostationarity analysis for gearbox condition monitoring： approaches and effectiveness． Mech Syst Signal Process200519：467 ［2］ Ding KKong Z GHe Z D．The principle and application of cyclostationary analysis for demodulation of amplitude modulated signals．J V ib Eng200518（3）：304 （丁康孔正国何志达．振动调幅信号的循环平稳解调原理 与应用．振动工程学报200518（3）：304） ［3］ Shen F LYe Z FQian Y M．Statistical A nalysis and Processing of signal．Hefei：University of Science and Technology of China Press2001：112 （沈凤麟叶中付钱玉美．信号统计分析与处理．合肥：中国 科学技术大学出版社2001：112） ［4］ Li LQu L L．Application of cyclic statistics to fault diagnosis of rolling bearings．J V ib Meas Diagn200323（2）：116 （李力屈梁生．循环统计量方法在滚动轴承故障诊断中的应 用．振动、测试与诊断200323（2）：116） ［5］ He JChen JBi Get al．Frequency demodulation analysis of degree of cylcostationary and its application to gear defect detection．J Shanghai Jiaotong Univ200741（11）：1862 （何俊陈进毕果等．循环平稳度解调频原理分析及其在齿轮 故障诊断中的应用．上海交通大学学报200741（11）：1862） ［6］ Zhang X DBao Z．A nalysis and Processing of Nonstationary Signal．Beijing：National Defense Industry Press1998：325 （张贤达保铮．非平稳信号分析与处理．北京：国防工业出版 社1998：325） ［7］ Walter Bartelmus．Mathematical modeling and computer simulations as an aid to gearbox diagnostics．Mech Syst Signal Process 200115（5）：855 ［8］ Yuan X HCai L L．Variable amplitude Fourier series with its application in gearbox diagnosis：Part Ⅰ．Principle and simulation．Mech Syst Signal Process200519（5）：1055 ［9］ Mccormick A CNandi A K．Cyclostationarity in rotating machine vibrations．Mech Syst Signal Process199812（2）：225 第3期 商铁军等： 齿轮局部损伤振动信号的循环平稳性分析 ·393·
