数学分析讲义 第四章广义积分 在讲述定积分时,我们用到了两个定积分中的限制条件,它们是: 1.积分区间是有界的 2.函数是有界的。 这两个条件在定义 Riemann定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的,比如说,函数 有界这一条件是 Riemann定积分存在的必要条件。这一章里,我们就来讨论将这两个条件放 松,是否存在类似于 Riemann定积分的量存在,这就是无穷积分和瑕积分。 §1无穷积分及其判别法 1无穷积分之定义 例1:求函数y=在区间a,4上与x轴所围部分的面积。 解:由面积的定义,我们知:S= 上述面积公式对于任意的闭区间[a小均成立,并且当A→+∞时,该面积有极限 因而可以将面积的概念推广至[a+∞)上的面积。这一想法可以推广到任意函数f(x)在 a+∞)上的“积分”的定义: 定义1:若函数f(x)在[a小上 Riemann可积,并且极限lmJ(x)存在且 等于有限值。则称该极限为函数f(x)定义在[a+∞)上的无穷积分,记 作:J。f(x)=mJ(x) 这时也称无穷积分。f(x)收敛,否则称()ak发散 同样我们可以定义f()的收敛性 附注:若。(x)d与f(x)均收敛时,称」f(x)收敛且 (x)dx=/(x)dx+f(x)dx= lim/(x)dx 例2:讨论无穷积分 1、的敛散性。 解:由于 tanA数学分析讲义 101 第四章 广义积分 在讲述定积分时，我们用到了两个定积分中的限制条件，它们是： 1. 积分区间是有界的； 2. 函数是有界的。 这两个条件在定义 Riemann 定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的，比如说，函数 有界这一条件是 Riemann 定积分存在的必要条件。这一章里，我们就来讨论将这两个条件放 松，是否存在类似于 Riemann 定积分的量存在，这就是无穷积分和瑕积分。 §1 无穷积分及其判别法 1 无穷积分之定义 例 1：求函数 2 1 y x = 在区间[ a A, ]上与 x 轴所围部分的面积。 解：由面积的定义，我们知： 2 A 1 1 1 a S dx x a A = = - ò 。 上述面积公式对于任意的闭区间[ a A, ]均成立，并且当 A ®+¥ 时，该面积有极限 1 a ， 因而可以将面积的概念推广至[a,+¥) 上的面积。这一想法可以推广到任意函数 f x( ) 在 [a,+¥) 上的“积分”的定义： 定义 1：若函数 f x( ) 在[ a A, ]上 Riemann 可积，并且极限 lim ( ) A A a f x dx ®+¥ ò 存在且 等于有限值。则称该极限为函数 f x( ) 定义在[a,+¥) 上的无穷积分，记 作： ( ) lim ( ) A a a A f x dx f x dx +¥ ®+¥ = ò ò 。 这时也称无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，否则称 ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 同样我们可以定义 ( ) a f x dx ò-¥ 的收敛性。 附注：若 ( ) a f x dx +¥ ò 与 ( ) a f x dx ò-¥ 均收敛时，称 f ( x)dx +¥ ò-¥ 收敛且 ( ) ( ) ( ) lim ( ) a A a A A A f x dx f x dx f x dx f x dx +¥ +¥ -¥ -¥ ®+¥ ¢ ¢®-¥ =+= ò ò ò ò 。 例 2：讨论无穷积分 2 0 1 dx x +¥ + ò 的敛散性。 解： 由于 1 2 0 tan 1 A dx A x - = + ò