广义积分 所以: = lim tan-A=,积分收敛 例讨论无穷积分∫的敛散性,(a>0 解:由于P≠1时 因此:当p>1时,广女 p-^积分收敛 当P<1时,由于一→+∞,所以积分发散 当p=1时 =ln-→+0,积分发散 a 例4讨论无穷积分厂x72的敛散性,(a> dx A dInx 由于 所以 x 1时.hx=-pm-p(mhna Inp a 因此:当P>1时,J ,积分收敛 xln”xp-1 当p<1时,由于hnA→∞,所以积分发散: 当p=1时, ln-→+∞,积分发散。 xIn x In a 例5:讨论无穷积分 sin xdx的敛散性 解:由于snxd=1-csA,极限不存在,所以smxd发散 2 Cauchy主值 若讨论积分「 sin xdx之收敛性,由定义我们知道它是发散积分,但若考虑到: sin xdx=0,我们有: lim xdx=0 上述这种以两边同时趋于无穷的方法求出的发散积分的极限,称为发散积分的 Cauchy 主值,记作.sin.xdx=0 一般地,我们定义:vPf()=!mf(x)xd 11.102广义积分 11.102 所以： 1 2 0 lim tan 1 2 A dx A x +¥ - p ®+¥ = = + ò ，积分收敛。 例 3：讨论无穷积分 p a dx x +¥ ò 的敛散性。( a > 0) 解： 由于 p ¹ 1时， 1 1 1 1 111 1 1 A A p p p p a a dx x x p paA - - - æ ö ==- ç ÷ - - è ø ò ， 因此：当 p > 1时， ( ) 1 1 1 p p a dx x p a +¥ - = - ò ，积分收敛； 当 p < 1时，由于 1 1 p A - ® +¥ ，所以积分发散； 当 p = 1时， ln A a dx A x a = ® +¥ ò ，积分发散。 例 4：讨论无穷积分 lnp a dx x x +¥ ò 的敛散性。(a >1) 解： 由于 ln ln ln A A p p a a dx d x x x x = ò ò ，所以： p ¹ 1时， ( ) 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 1 1 A A p p p p a a dx x A a x x p p - - - ==- - - ò 因此：当 p > 1时， 1 ln ln 1 p p a dx a xxp - +¥ = - ò ，积分收敛； 当 p < 1时，由于 1 ln p A - ® ¥ ，所以积分发散； 当 p = 1时， ln ln ln ln A a dx A x x a = ®+¥ ò ，积分发散。 例 5：讨论无穷积分 0 sin xdx +¥ ò 的敛散性。 解： 由于 0 sin 1 cos A xdx A = - ò ，极限不存在，所以 0 sin xdx +¥ ò 发散。 2 Cauchy 主值 若讨论积分 sin xdx +¥ ò-¥ 之收敛性，由定义我们知道它是发散积分，但若考虑到： sin 0 A A xdx - = ò ，我们有： lim sin 0 A A A xdx ®+¥ - = ò 。 上述这种以两边同时趋于无穷的方法求出的发散积分的极限，称为发散积分的 Cauchy 主值，记作v.p. sin 0 xdx +¥ -¥ = ò 。 一般地，我们定义： . . ( ) lim ( ) A A A v p f x dx f x xdx +¥ -¥ - ®+¥ = ò ò