数学分析讲义 附注:显然,我们有:积分收敛→ Cauchy主值=积分值:积分发散→ Cauchy主值可能存在 无穷积分的性质 下列无穷积分之性质,可以由其定义直接得到 1)线性运算性质 若f(x),g(x)∈R[a+∞)(广义积分存在)则: ∫((x)+kg(x)d=「f()d+kg(x)d 2)分部积分法仍然成立 3)换元法仍然成立 例6:求无穷积分I= e-ar cos bxdx。(a>0) 解:I=[ e-ar cos bxdx 分部积分 cos bxd bx (bsin bx )da 分部积分1 sin bade e-a bcos bxdx 所以:I: 4) Cauchy收敛准则: ∫。f(x)收敛函数1(A)=Jf(x)a有极限 ev>0,3A>a,当A,A>A时,有:f(x)d<E 5)绝对收敛与条件收敛: 若无穷积分∫”(x)收敛,则称∫。()绝对收敛 若无穷积分(x)发散,但。f(x)收敛,则称∫f(x)条件收敛 m二收数这圆(2(),面m市叫 得结论 4绝对收敛积分之判别法 下列之判别法均事先假设了积分()女的存在性 103数学分析讲义 103 附注：显然，我们有：积分收敛ÞCauchy 主值=积分值；积分发散ÞCauchy 主值可能存在。 3 无穷积分的性质 下列无穷积分之性质，可以由其定义直接得到： 1） 线性运算性质： 若 f x( ), , g( x a )ÎR [ +¥)（广义积分存在）则： ( ( ) ( )) ( ) ( ) a a a f x kg x dx f x dx k g x dx +¥ +¥ +¥ + = + ò ò ò 2） 分部积分法仍然成立； 3） 换元法仍然成立。 例 6：求无穷积分 0 cos ax I e bxdx +¥ - = ò 。( a > 0) 解： 0 cos ax I e bxdx +¥ - = ò 0 0 0 2 2 2 2 0 0 1 1 1 cos cos ( sin ) 1 1 1 sin cos ax ax ax ax ax bxd e e bx e b bx dx a a a b b b bxde e b bxdx I a a a a a a +¥ +¥ +¥ - - - +¥ +¥ - - æ ö = ç ÷ - = - + - è ø = + = - = - ò ò ò ò 分部积分 分部积分 所以： 2 2 a I a b = + 。 4） Cauchy 收敛准则： ( ) a f x dx +¥ ò 收敛 Û 函数 ( ) ( ) A a I A = f x dx ò 有极限 Û " > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，有： ( ) A A f x dx e ¢¢ ¢ < ò 。 5） 绝对收敛与条件收敛： 若无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，则称 ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛； 若无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 发散，但 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，则称 ( ) a f x dx +¥ ò 条件收敛。 附注： 显然绝对收敛Þ 条件收敛，这是因为 ( ) ( ) A A A A f x dx f x dx ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ £ ò ò ，由 Cauchy 收敛准则可 得结论。 4 绝对收敛积分之判别法 下列之判别法均事先假设了积分 ( ) A a f x dx ò 的存在性