广义积分 )比较判别法 定理1:(比较判别法) 1)当彐B,当x≥B时, 若|(x)≤0(x),则∫。9(x)d收敛=f()d绝对收敛, 若|(x)20(x)>0,则∫。9(x)发散→J。(x)发散 2)若hmn∠()=1,则 x+9(x) 0≤1<+∞时,∫q(x)收敛→∫f(x)k绝对收敛, 0<≤+∞时,∫9()k发散→J(x)k发散 证明:1)用 Cauchy收敛准则证明 若(x)dx收敛,则: vE>0,3A>a,当A,”>A时,有:[f(x)dk< 而|()9(,因此:()2()-9() 由Ca收敛准则,∫。f(x)绝对收敛 当∫q(x)d发散且(x)20(x)>0时,与上述命题为逆否命题。 2)由极限性质可由2)→1)之条件,因而结论均成立 证毕 2) Cauchy判别法 由本节例3,我们知道积分。“在p>1时收敛,p≤1时发散。因而在应用定理1 时,我们可以将q(x)取为一,这样,比较判别法就变为: l1.104广义积分 11.104 1) 比较判别法 定理 1：（比较判别法） 1) 当$B ，当 x B ³ 时， 若 f ( x x ) £j ( ) ，则 ( ) a j x dx +¥ ò 收敛Þ ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 若 f ( x x ) ³ > j ( ) 0 ，则 ( ) a j x dx +¥ ò 发散Þ ( ) a f x dx +¥ ò 发散； 2) 若 ( ) ( ) limx f x l ®+¥ j x = ，则： 0 £ l <+¥ 时， ( ) a j x dx +¥ ò 收敛Þ ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 0 < l £+¥ 时， ( ) a j x dx +¥ ò 发散Þ ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 证明： 1) 用 Cauchy 收敛准则证明。 若 ( ) a j x dx +¥ ò 收敛，则： " > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，有： ( ) A A f x dx e ¢¢ ¢ < ò 而 f ( x x ) £j ( ) ，因此： ( ) ( ) ( ) AAA A A A f x dx f x dx j e x dx ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢¢ £ £ < òòò 由 Cauchy 收敛准则， ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛。 当 ( ) a j x dx +¥ ò 发散且 f ( x x ) ³ > j ( ) 0 时，与上述命题为逆否命题。 2) 由极限性质可由 2)Þ1)之条件，因而结论均成立。 证毕 2) Cauchy 判别法 由本节例 3，我们知道积分 p a dx x +¥ ò 在 p > 1时收敛， p £ 1时发散。因而在应用定理 1 时，我们可以将j( x) 取为 1 p x ，这样，比较判别法就变为：