数学分析讲义 定理2:( Cauchy判别法) 1)当彐B,当x≥B时 若(x)≤,p>1,则∫。/(x)绝对收敛, 若|(x) ps1,则∫。/(x)4发散 若imx/(x)=1,则 p>1且01<+时,f()绝对收敛, ps1且0<1≤+∞时,「(x)发散 例7:求证无穷积分-cobd对va>0收敛 证明:由于| e- cos b≤e,并且[eadk=-,(a>0) 所以由定理1,| e-ar cos bxdx对a>0绝对收敛。 +∞ arctan x 例8:讨论无穷积分 x的敛散性 arctan x丌 解:由于 x~,(x→+∞),并且斗cas70,(x2) 所以由定理2,它与厂会同时收敛或发散即无穷积分厂“x在发散 5Abe|判别法与 Dirichlet判别法 上述的比较判别法与 Cauchy判别法都是用来判断一个无穷积分是否绝对收敛的,这里 两个判别法则是针对条件收敛性而讨论的,因而相对较复杂 )Abel判别法 定理3:(Abel判别法)设: " 1)f(x)在[a+∞)上可积(广义积分收敛) 2)g(x)在[a+∞)上单调有界(g(x)≤M) 则:f(x)g(x)在[a+∞)上广义可积。 证明:应用 Cauchy收敛原理讨论这一问题。考虑第二积分中值定理,我们有: ()g()=8(4)(x)d+g()。(x) 由于f(x)收敛,V>0,34>a,当,>A时(自然5>A)数学分析讲义 105 定理 2：（Cauchy 判别法） 1) 当$B ，当 x B ³ 时， 若 ( ) p c f x x £ ， p > 1，则 ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 若 ( ) 0 p c f x x ³ > ， p £ 1，则 ( ) a f x dx +¥ ò 发散； 2) 若 lim ( ) p x x f x l ®+¥ = ，则： p > 1且0 £ l <+¥ 时， ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， p £ 1且0 < l £+¥ 时， ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 例 7：求证无穷积分 0 cos ax e bxdx +¥ - ò 对" > a 0 收敛。 证明： 由于 cos ax ax e bx e - - £ ，并且 0 ax 1 e dx a +¥ - = ò ，( a > 0) 所以由定理 1， 0 cos ax e bxdx +¥ - ò 对" > a 0 绝对收敛。 例 8：讨论无穷积分 1 arctan x dx x +¥ ò 的敛散性。 解： 由于 arctan ~ 2 x x x p ，( x ®+¥)，并且 arctan 0 x x > ，( x ³1) 所以由定理 2，它与 1 dx x +¥ ò 同时收敛或发散，即无穷积分 1 arctan x dx x +¥ ò 发散。 5 Abel 判别法与 Dirichlet 判别法 上述的比较判别法与 Cauchy 判别法都是用来判断一个无穷积分是否绝对收敛的，这里 两个判别法则是针对条件收敛性而讨论的，因而相对较复杂。 1) Abel 判别法 定理 3：（Abel 判别法）设： 1) f x( ) 在[a,+¥) 上可积（广义积分收敛）， 2) g x( ) 在[a,+¥) 上单调有界（ g ( x M ) £ ） 则： fxgx ( ) ( )在[a,+¥) 上广义可积。 证明： 应用 Cauchy 收敛原理讨论这一问题。考虑第二积分中值定理，我们有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A fxgx dx g A f x dx g A f x dx x x ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ = + ¢ ¢¢ ò ò ò 由于 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，" > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时（自然x > A ）