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,1164 北京科技大学学报 第30卷 可行机构解域寻优的过程可由机构性能分析图直观 1=-引1- 4(d+2ch) 地反映出来，便于设计者了解机构性能变化趋势，允 y2+4h2 (4) 许设计者划定感兴趣的区域，通过逐步缩小区域采 y1=1-, r(d+2ch) 样步长减少计算量，提高计算精度 Y2+4h2 1各种情况下圆点曲线参数方程 其中，c=一e/Y,h是圆束中任取圆的圆心纵坐标. 此时圆点曲线可能出现三种典型形状：(a)两个独立 圆点曲线与圆心曲线统称为布氏曲线，其中圆 分支一闭合分支和开放分支：(b)只有一支，且有 点曲线是三阶虚圆点曲线（圆点坐标(x,y),是镜 一个二重点（也称扭结线）：(c)只有一支，无二重点 极坐标的函数.选定极点P12为坐标原点时，三阶圆 (也称拇指线)， 点曲线方程为9 为实现在同一有限坐标平面内确定连续机构解 (x6+y6)(j2x0-j1yo)+(j1k2-j2k1一j3)x6+ 域，本文将各种形状圆点曲线的点坐标均统一表示 (j1k2-j2k+j3)yo+2jaxoyo+ 成以角度(9∈(0,2π)为参数的方程. (-j1k3十jzk4+j3k1-jAk2)x0十 (a)两个独立分支(mo<0,mo=d-Y/4十e2/ (jik+jzk3-j3k2-jak)yo=0 (1) 丫).式(3)和(4)中，h=cot9.当9∈(0，π)时，采 式中，k1=x13十x24,k2=y13十y24,k3=x13y24十 用式(3)；当9∈（π，2π）时，采用式(4) y13x24,k4=x13x24十y13y24,j1=x23十x14一k1, (b)扭结线(m0=0).式(3)和(4)中，h=-e/ j2=y23+y14-k2,j3=x23y14+x14y23-k3,j4= Y+cot9.当9∈(0，π/2)U(3π/2,2π)时，采用 x23x14一y14y23一k4·其中，（x13,y13)、(x24,y24)、 式(3)：当9∈（π/2，π）U(π，3π/2)时，采用公式(4). (x14,y14)和(x23,y23)分别是镜极P13、P24、P14和 (c)拇指线(m0>0).当9∈(0，π/2)时，采用 P的坐标.焦心F的坐标为p=i士的，ye +洛，= 式(3)，式中h=-e/y+Jmo十cotp;当p∈（π/2， jj3j2j4 π)时，采用式(4)，式中h=-e/y+Jm0-cot9;当 + 9∈（π，3π/2）时，采用式(4)，式中h=-e/y- (1)若十≠0（焦点为实点），将坐标原点移 Jm0-cot9;当9∈(3π/2,2π)时，采用式(3)，式中 到焦点，并使坐标轴旋转0(tan0=一j1/j2)角.经 h=-e/y-Jmo十cot9. 坐标变换后，圆点曲线方程为： 当参数9连续取值时，圆点曲线将沿某一分支 (xi+yi)(x1+Y)+dx1+ey1=0 (2) 走向连续变化，若Y、e同时为零，圆点曲线分解为 式中，Y=土32xr九y十@ (j2≥0，取“+”号；j2< 圆和直线，方程分别为： N+ x1=alcos29 0,取-号)，1=2n426,e=2加士2 p∈(0，π) (5) +形 +危 yi=alsin29 其中，b1=号（号十品）十(r-p)十 x1=0 9∈（π，2π） (6) y1=cot axp十aep+a,6s=2(号+月)十r(g (2)若吊+=0（焦点为虚点），将坐标轴旋转 jiyr)+azxp+asyr+as;a=jik2-jzki-j3, B角(cot2B=一j3/j4),并移动坐标原点到（一g, a2=j4,a3=j1k2一jzk1十j3,a4=(-j1k3十j2k4十 一f),其中， j3k1-j4k2)/2,a5=(ji1k4十j2k3-j3k2-j4k1)/2. 可以证明]，若Y、e不同时为零（圆点曲线不 9kjk )cos)sin 2(一j3cos23+j4sin2 分解)，根据射影几何原理，利用射影对应的圆束和 直线束可求解方程(2)，圆点曲线方程解有两种形 )sincos 2(-j3cos2B+jisin2B) 式： 经坐标变换后，圆点曲线方程(1)化简为： x1=- 21+ 4(d-2ch) y2+4h2 x1-y1-(g2-f2)=0 (7) (3) y1=h1+1- 4(d+2ch) 若g2-∫≠0，方程(7)为双曲线 y2+4h2 当|g>lfl时，参数方程为：可行机构解域寻优的过程可由机构性能分析图直观 地反映出来便于设计者了解机构性能变化趋势允 许设计者划定感兴趣的区域通过逐步缩小区域采 样步长减少计算量提高计算精度． 1 各种情况下圆点曲线参数方程 圆点曲线与圆心曲线统称为布氏曲线其中圆 点曲线是三阶虚圆点曲线（圆点坐标（ xy））是镜 极坐标的函数．选定极点 P12为坐标原点时三阶圆 点曲线方程为［9］： （ x 2 0＋y 2 0）（ j2x0— j1y0）＋（ j1k2— j2k1— j3） x 2 0＋ （ j1k2— j2k1＋ j3） y 2 0＋2j4x0y0＋ （— j1k3＋ j2k4＋ j3k1— j4k2） x0＋ （ j1k4＋ j2k3— j3k2— j4k1） y0＝0 （1） 式中k1＝ x13＋ x24k2＝ y13＋ y24k3＝ x13y24＋ y13x24k4＝ x13 x24＋ y13 y24j1＝ x23＋ x14— k1 j2＝y23＋ y14— k2j3＝ x23y14＋ x14y23— k3j4＝ x23x14— y14y23— k4．其中（ x13y13）、（ x24y24）、 （ x14y14）和（ x23y23）分别是镜极 P13、P 1 24、P14和 P 1 23的坐标．焦心 F 的坐标为 xF＝ j1j4＋ j2j3 j 2 1＋ j 2 2 yF＝ j1j3— j2j4 j 2 1＋ j 2 2 ． （1）若 j 2 1＋ j 2 2≠0（焦点为实点）．将坐标原点移 到焦点并使坐标轴旋转 θ（tanθ＝— j1／j2）角．经 坐标变换后圆点曲线方程为： （ x 2 1＋y 2 1）（ x1＋γ）＋d x1＋ey1＝0 （2） 式中γ＝± 3j2xF—j1yF＋a1 j 2 1＋j 2 2 （ j2≥0取“＋”号；j2＜ 0取“—”号）d＝ 2j2b4—2j1b5 j 2 1＋ j 2 2 e＝ 2j2b5＋2j1b4 j 2 1＋ j 2 2 ． 其中b4＝ j2 2 （ x 2 F ＋ y 2 F ） ＋ xF （ j2xF — j1yF ） ＋ a1xF＋a2yF＋ a4b5＝ j1 2 （ x 2 F＋ y 2 F）＋ yF （ j2xF— j1yF）＋ a2xF ＋ a3yF ＋ a5；a1＝ j1k2— j2k1— j3 a2＝j4a3＝ j1k2— j2k1＋ j3a4＝（— j1k3＋ j2k4＋ j3k1— j4k2）／2a5＝（ j1k4＋ j2k3— j3k2— j4k1）／2． 可以证明［9］若 γ、e 不同时为零（圆点曲线不 分解）根据射影几何原理利用射影对应的圆束和 直线束可求解方程（2）圆点曲线方程解有两种形 式： x1＝— γ 2 1＋ 1— 4（ d—2ch） γ2＋4h 2 y1＝h 1＋ 1— 4（ d＋2ch） γ2＋4h 2 （3） x1＝— γ 2 1— 1— 4（ d＋2ch） γ2＋4h 2 y1＝h 1— 1— r（ d＋2ch） γ2＋4h 2 （4） 其中c＝—e／γh 是圆束中任取圆的圆心纵坐标． 此时圆点曲线可能出现三种典型形状：（a）两个独立 分支———闭合分支和开放分支；（b）只有一支且有 一个二重点（也称扭结线）；（c）只有一支无二重点 （也称拇指线）． 为实现在同一有限坐标平面内确定连续机构解 域本文将各种形状圆点曲线的点坐标均统一表示 成以角度 φ（φ∈（02π））为参数的方程． （a）两个独立分支（ m0＜0m0＝ d—γ2／4＋e 2／ γ2）．式（3）和（4）中h＝cotφ．当 φ∈（0π）时采 用式（3）；当 φ∈（π2π）时采用式（4）． （b）扭结线（ m0＝0）．式（3）和（4）中h＝—e／ γ＋cotφ．当 φ∈（0π／2） ∪（3π／22π） 时采用 式（3）；当 φ∈（π／2π）∪（π3π／2）时采用公式（4）． （c）拇指线（ m0＞0）．当 φ∈（0π／2）时采用 式（3）式中 h＝—e／γ＋ m0＋cotφ；当 φ∈（π／2 π）时采用式（4）式中 h＝—e／γ＋ m0—cotφ；当 φ∈（π3π／2）时采用式（4）式中 h ＝— e／γ— m0—cotφ；当 φ∈（3π／22π）时采用式（3）式中 h＝—e／γ— m0＋cotφ． 当参数 φ连续取值时圆点曲线将沿某一分支 走向连续变化．若 γ、e 同时为零圆点曲线分解为 圆和直线方程分别为： x1＝ ｜d｜cos2φ y1＝ ｜d｜sin2φ φ∈（0π） （5） x1＝0 y1＝cotφ φ∈（π2π） （6） （2）若 j 2 1＋ j 2 2＝0（焦点为虚点）．将坐标轴旋转 β角（cot2β＝— j3／j4）并移动坐标原点到（— g — f ）其中 g＝ （ j3k1— j4k2）cosβ—（ j3k2＋ j4k1）sinβ 2（— j3cos2β＋ j4sin2β） f＝ （ j3k1— j4k2）sinβ＋（ j3k2＋ j4k1）cosβ 2（— j3cos2β＋ j4sin2β） ． 经坐标变换后圆点曲线方程（1）化简为： x 2 1—y 2 1—（ g 2— f 2）＝0 （7） 若 g 2— f 2≠0方程（7）为双曲线． 当｜g｜＞｜f｜时参数方程为： ·1164· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷