入置换运算并归纳其基本性质,以此引入张量的对称化与反称化算子。基于张量的反称化算子,定义张量 的外积运算,并获得反对称张量(外形式)的表达形式。 基于外积运算可以系统获得仿射量(二阶张量)的代数性质,主要包括行列式、主不变量的表达;极 分解与谱分解等。这部分内容可以作为选学内容 第三部分流形上的微分学讲授4学时/次,共3次 曲率张量桡张量 联络与协变导数 微分流形上的微分学 外微分 Lie导数 按照一般微分流形教程的做法,按算子观点定义相关几何量与微分运算,主要包含:曲率张量与桡张 量;联络与协变导数;外微分运算;Lie导数;各微分运算之间的关系。我们将进一步阐述相关概念与结 论的物理意义,主要结合力学中的场论,如Le导数与物质导数分解之间的关系 第四部分流形上的积分学讲授4学时/次,共2次 第一类积分 场的积分) 微分流形上的积分学 (外形式类积分 的积分) 张量场积分的通量形式 Stokes公式 通量形式的 Stokes形式 按照推广高维微积分中体积与曲面上积分的观点,获得m维 Euclid空间中体积上的积分;m维 Euclid空间中曲面上的第一类、第二类积分;m维 Euclid空间中r维曲面上的积分的定义形式。获得流 形上 Stokes公式。 第五部分微分流形的相关应用讲授4学时/次,共2次 微分方程的几何化 V.L. Arnold微分方程教程 微分流形的相关应用 经典力学的几何化 V.I. Arnold《经典力学中的数学方法》 微分流形的应用表现为几何化的观点。我们将参照 VL.Arnold的《常微分方程》《偏微分方程讲义》, 阐述微分流形在常微分与偏微分方程中的应用;参照 V.I. Arnold的《经典力学中的数学方法》,阐述微分 流形在经典力学、理论物理中的相关应用。 注:上述为基本安排,可能按具体情况略作调整。入置换运算并归纳其基本性质，以此引入张量的对称化与反称化算子。基于张量的反称化算子，定义张量 的外积运算，并获得反对称张量（外形式）的表达形式。 基于外积运算可以系统获得仿射量（二阶张量）的代数性质，主要包括行列式、主不变量的表达；极 分解与谱分解等。这部分内容可以作为选学内容。 第三部分 流形上的微分学 讲授 4 学时/次，共 3 次 按照一般微分流形教程的做法，按算子观点定义相关几何量与微分运算，主要包含：曲率张量与桡张 量；联络与协变导数；外微分运算；Lie 导数；各微分运算之间的关系。我们将进一步阐述相关概念与结 论的物理意义，主要结合力学中的场论，如 Lie 导数与物质导数分解之间的关系。 第四部分 流形上的积分学 讲授 4 学时/次，共 2 次 按照推广高维微积分中体积与曲面上积分的观点，获得 m 维 Euclid 空间中体积上的积分；m 维 Euclid 空间中曲面上的第一类、第二类积分；m 维 Euclid 空间中 r 维曲面上的积分的定义形式。获得流 形上 Stokes 公式。 第五部分 微分流形的相关应用 讲授 4 学时/次，共 2 次 微分流形的应用表现为几何化的观点。我们将参照 V.I.Arnold 的《常微分方程》、《偏微分方程讲义》， 阐述微分流形在常微分与偏微分方程中的应用；参照 V.I.Arnold 的《经典力学中的数学方法》，阐述微分 流形在经典力学、理论物理中的相关应用。 注：上述为基本安排，可能按具体情况略作调整