教学内容安排 流形上的微积分》,经几次教学研究与实践,现确定的主要内容分五个部分,概述如下。 第一部分距离空间中的微分流形讲授4学时/次,共3次 体积流形 有限维分彩 带边体积流形 带边流形 带边曲面流形 流形的定向 局部 Euc l id空间化 切向量丛 典型微分流形 余切向量丛 张量丛 有限维 Euclid空间中的微分流形,主要包括:m维 Euclid空间中体积形态的微分流形,m维 Euclid 空间中r维曲面作为微分流形;m维 Euclid空间中体积形态的带边流形,曲面形态的带边流形。值得指 出, Euclid空间中的微分流形,主要基于微分同胚的局部存在性定理(逆映照定理);可通过构造局部微 分同胚存在性定理获得:秩定理, Morse定理,都将服务于流形上微积分知识体系的建立 距离空间中微分流形的一般思想(定义)就是局部 Euclid化,通过同胚(双射且连续)的形式将 Euclid 空间中的方块(参数域)对应于流形的某一部分;不同参数域交叠的部分之间需要满足微分同胚(坐标转 换关系)。作为微分流形的事例,引入切向量丛、余切向量丛与张量丛 第二部分张量代数讲授4学时/次,共2次 张量的定义与表示 张量井 点积 张量代数 张量的基本代数运算 置换运算 对称化与反称化 外积运算 反对称张量 于列式表示 仿射量的代数性质 主不变量表示 外积运算 极分解与谱分解 按线性空间上多重线性函数的观点定义张量,协变基与逆变基可以按线性泛函的观点分别对应至切向 量与余切向量。通过引入简单张量,获得张量的一般表达形式。 张量的基本代数运算涉及的张量并、e-点积可以直接基于构成简单张量的基向量之间的运算定义。引教学内容安排： 《流形上的微积分》，经几次教学研究与实践，现确定的主要内容分五个部分，概述如下。 第一部分 距离空间中的微分流形 讲授 4 学时/次，共 3 次 有限维 Euclid 空间中的微分流形，主要包括：m 维 Euclid 空间中体积形态的微分流形，m 维 Euclid 空间中 r 维曲面作为微分流形；m 维 Euclid 空间中体积形态的带边流形，曲面形态的带边流形。值得指 出，Euclid 空间中的微分流形，主要基于微分同胚的局部存在性定理（逆映照定理）；可通过构造局部微 分同胚存在性定理获得：秩定理，Morse 定理，都将服务于流形上微积分知识体系的建立。 距离空间中微分流形的一般思想（定义）就是局部 Euclid 化，通过同胚（双射且连续）的形式将 Euclid 空间中的方块（参数域）对应于流形的某一部分；不同参数域交叠的部分之间需要满足微分同胚（坐标转 换关系）。作为微分流形的事例，引入切向量丛、余切向量丛与张量丛。 第二部分 张量代数 讲授 4 学时/次，共 2 次 按线性空间上多重线性函数的观点定义张量，协变基与逆变基可以按线性泛函的观点分别对应至切向 量与余切向量。通过引入简单张量，获得张量的一般表达形式。 张量的基本代数运算涉及的张量并、e-点积可以直接基于构成简单张量的基向量之间的运算定义。引