第4期 王晓晓，等：广播信号下非一致多智能体系统的能控性 ·403· B2,…,Bn,那么，a:☒B,是A☒B对应于特征值 式中：a,b,>0。在这里，只介绍下文用到的雅可 入的特征向量(i=1,2,…,m:=1,2,…,n)。 比矩阵的一个性质：雅可比矩阵的特征值各不相同。 定义2如果当1i-j川≤1时，J,>0,而当 1i-j1≥2时，J=0,称J是雅可比矩阵)，表示 2能控性分析 成矩阵形式为 2.1主要结果 b 0 0 0 定理1设T是对称的，则具有如式(1)动态的多 bi a2 b2 0 0 智能体系统能控当且仅当下面的2个条件同时成立： 0 0 0 1)[T,B]是能控矩阵对； a3 J= 0 2)(C-L)☒T的特征值各不相同。 0 0 0 证明系统的能控性矩阵为 an-1 ba-1 0 00 ba-1 [(Ln☒B)[(C-L)⑧(Ln☒B).[(C-L)⑧ma-(Ln☒B)] 因为C是对角矩阵，拉普拉斯L是对称矩阵， 因为特征向量的定义是非零向量，所以这个条件在 所以C一L是对称矩阵。在T是对称矩阵的条件 任何情况下均成立，所以可以不考虑该条件。 下，(C-L)②T也是对称的，且根据文献[16]可以 2)y2B≠0T,即没有一个T的特征向量正交 表示为(C-L)②T=PAP,其中A是对角矩阵， 于B,根据命题1的陈述(3)，[TB]是一个控制 其主对角线元素为(C-L)⑧T的特征值，而相似 矩阵对。 变换矩阵P的列向量是对应于(C-L)⑧T的特征 由于A是一个对角非奇异矩阵，故A乘以一个 值的正交特征向量。那么，能控性矩阵可以改写成 矩阵只会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩 [(In☒B)PAP(In☒B)…(PAPr)-1(In☒B)] 放。然而，矩阵A对角线上的元素不能出现相同的 简化为 元素，否则，能控性矩阵会出现线性相关的行，则控 [(Ln☒B)PAP'(Ln☒B)…PAm-p(Ln☒B)] 制矩阵也不能行满秩。因为矩阵A是一个对角矩 将P提出，能控性矩阵可以写成： 阵，且其主对角线元素为(C-L)☒T的特征值，所 P[Pr(Ln☒B)P(Ln☒B)…Mm-Pr(In☒B)] 以要求(C-L)⑧T的特征值各不相同。 因为P非奇异，所以P不影响能控性矩阵的 综上所述：当「是对称的，欲使系统(2)能控， 秩。因此，仅研究下述矩阵的秩即可。 当且仅当下面的2个条件同时成立： [P'(Ln☒B)P'(Ln☒B)…Mmm-p'(Ln☒B)] 1)[TB]是能控矩阵对； 要使该矩阵行满秩，P'(L.⑧B)应没有非零行 2)(C-L)⑧T的特征值各不相同。 向量，这要求不存在P的列向量与(I⑧B)的所有 根据定理1，广播信号下非一致多智能体系统 列向量正交。否则，该矩阵就会出现一整行均是零 的能控性问题可以分解成2个独立的小问题：1)子 的情况，在这一情形下，该矩阵就不是行满秩的，从 系统x=x+Bu的能控性：2)(C-L)⑧T的特征 而系统的能控性矩阵也不是行满秩的。因为相似变 值各不相同问题。如果控制矩阵B选择合适，使得 换矩阵P的列向量是对应于(C-L)☒T的特征值 子系统x=Tx+Bu能控，那么广播信号下非一致的 的正交特征向量，所以要求P的列向量不能正交于 多智能体系统的能控性问题就可以简化为对(C一 (In☒B),也就是说，要求(C-L)⑧T的特征向量 L)⑧T的特征值分析。下面进一步探讨这一问题。 不正交于(In☒B)。通过命题2的陈述(4)得知： 2.2[TB]的能控性 对于(C-L)②T的任一特征向量，均存在(C-L) 首先，研究定理1的条件1)，即子系统 和T的2个非零特征向量，分别记其为”1和”2，使 x=Ix +Bu (3) 得该特征向量可以写成"，②"2。前面的讨论要求 的能控性。其中T∈Rmxm,B∈Rm的定义同(I)。 "1⑧2不与(1.⑧B)的所有列向量正交，即 定理2T是对称的（同定理1），则系统(3)能 (1T⑧2)(In☒B)≠0T,所以要求 控当且仅当下述2个条件同时成立： (1n)☒(2B)≠0 1)T的特征值各不相同： 因此，系统能控，当且仅当： 2)T的特征向量不正交于B。 1)y'L。≠0T,即没有一个C-L的特征向量 证明：系统(3)的能控性矩阵是 正交于1.，也就是说，C-L的特征向量不为0。。 Q=[BTBB…Dm-B]茁圆 袁噎袁茁灶 袁 那么袁 琢蚤 茚 茁躁 是 粤 茚 月 对应于特征值 姿蚤滋躁 的特征向量 渊蚤 越 员袁圆袁噎袁皂曰躁 越 员袁圆袁噎袁灶冤 遥 定义 圆摇 如果当 渣 蚤 原 躁 渣 臆 员 时袁 允 蚤躁 跃 园袁 而当 渣 蚤 原 躁 渣 逸圆 时袁 允蚤躁 越 园袁 称 允 是雅可比矩阵咱员猿暂 袁表示 成矩阵形式为 允 越 葬员 遭员 园噎 园 园 遭员 葬圆 遭圆 噎园 园 园 遭圆 葬猿 噎园 园 左左左摇 左 园 园 园 园噎 葬灶原员 遭灶原员 园 园 园噎 遭灶原员 葬灶                     式中院 葬蚤袁遭蚤 跃 园遥 在这里袁只介绍下文用到的雅可 比矩阵的一个性质院雅可比矩阵的特征值各不相同遥 圆摇 能控性分析 圆援员摇 主要结果 定理 员摇 设 祝是对称的袁则具有如式渊员冤动态的多 智能体系统能控当且仅当下面的 圆 个条件同时成立院 员冤 咱祝袁月暂 是能控矩阵对曰 圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 证明 系统的能控性矩阵为 咱 渊陨灶 茚 月冤摇 咱渊悦 原 蕴冤 茚 祝暂 渊陨灶 茚 月冤摇 噎 咱渊悦 原 蕴冤 茚 祝暂 皂灶原员 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 因为 悦 是对角矩阵袁拉普拉斯 蕴 是对称矩阵袁 所以 悦 原 蕴 是对称矩阵遥 在 祝 是对称矩阵的条件 下袁 渊悦 原 蕴冤 茚祝也是对称的袁且根据文献咱员远暂可以 表示为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝 越 孕撰孕栽 袁 其中 撰 是对角矩阵袁 其主对角线元素为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值袁而相似 变换矩阵 孕 的列向量是对应于 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征 值的正交特征向量遥 那么袁能控性矩阵可以改写成 咱 渊陨灶 茚 月冤孕撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎 渊孕撰孕栽 冤 皂灶原员 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 简化为 咱 渊陨灶 茚 月冤孕撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎孕撰皂灶原员 孕栽 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 将 孕 提出袁能控性矩阵可以写成院 孕 孕栽 渊陨灶 茚 月冤撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎撰皂灶原员 孕栽 渊陨   灶 茚 月冤 摇 摇 因为 孕 非奇异袁所以 孕 不影响能控性矩阵的 秩遥 因此袁仅研究下述矩阵的秩即可遥 孕栽 渊陨灶 茚 月冤撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎撰皂灶原员 孕栽 渊陨   灶 茚 月冤 摇 摇 要使该矩阵行满秩袁 孕栽 渊陨灶 茚 月冤 应没有非零行 向量袁这要求不存在 孕 的列向量与 渊陨灶 茚 月冤 的所有 列向量正交遥 否则袁该矩阵就会出现一整行均是零 的情况袁在这一情形下袁该矩阵就不是行满秩的袁从 而系统的能控性矩阵也不是行满秩的遥 因为相似变 换矩阵 孕 的列向量是对应于 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值 的正交特征向量袁所以要求 孕 的列向量不能正交于 渊陨灶 茚月冤 袁 也就是说袁要求 渊悦 原 蕴冤 茚祝的特征向量 不正交于 渊陨灶 茚 月冤 遥 通过命题 圆 的陈述渊源冤得知院 对于 渊悦 原 蕴冤 茚祝的任一特征向量袁均存在 渊悦 原 蕴冤 和 祝的 圆 个非零特征向量袁分别记其为 增员 和 增圆 袁 使 得该特征向量可以写成 增员 茚 增圆 遥 前面的讨论要求 增员 茚 增圆 不与 渊陨灶 茚 月冤 的所有列向量正交袁 即 渊增员 栽 茚增圆 栽 冤 渊陨灶 茚 月冤 屹 栽 袁 所以要求 渊增员 栽 陨灶 冤茚渊增圆 栽 月冤 屹 栽 摇 摇 因此袁系统能控袁当且仅当院 员冤 增员 栽 陨灶 屹 栽 袁 即没有一个 悦 原 蕴 的特征向量 正交于 陨灶 袁 也就是说袁 悦 原 蕴 的特征向量不为 灶 遥 因为特征向量的定义是非零向量袁所以这个条件在 任何情况下均成立袁所以可以不考虑该条件遥 圆冤 增圆 栽 月 屹 栽 袁 即没有一个 祝 的特征向量正交 于 月袁 根据命题 员 的陈述渊猿冤袁 咱祝 月暂 是一个控制 矩阵对遥 由于 撰 是一个对角非奇异矩阵袁故 撰 乘以一个 矩阵只会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩 放遥 然而袁矩阵 撰 对角线上的元素不能出现相同的 元素袁否则袁能控性矩阵会出现线性相关的行袁则控 制矩阵也不能行满秩遥 因为矩阵 撰 是一个对角矩 阵袁且其主对角线元素为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值袁所 以要求 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 综上所述院当 祝 是对称的袁欲使系统渊圆冤能控袁 当且仅当下面的 圆 个条件同时成立院 员冤 咱祝 月暂 是能控矩阵对曰 圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 根据定理 员袁广播信号下非一致多智能体系统 的能控性问题可以分解成 圆 个独立的小问题院员冤子 系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 的能控性曰圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征 值各不相同问题遥 如果控制矩阵 月 选择合适袁使得 子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控袁那么广播信号下非一致的 多智能体系统的能控性问题就可以简化为对 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值分析遥 下面进一步探讨这一问题遥 圆援圆摇 咱祝 月暂 的能控性 首先袁研究定理 员 的条件 员冤袁即子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 渊猿冤 的能控性遥 其中 祝沂 砸皂伊皂袁 月 沂 砸皂伊责 的定义同渊员冤遥 定理 圆摇 祝是对称的渊同定理 员冤袁则系统渊猿冤能 控当且仅当下述 圆 个条件同时成立院 员冤 祝的特征值各不相同曰 圆冤 祝的特征向量不正交于 月 遥 证明院 系统渊猿冤的能控性矩阵是 匝 越 咱月 祝月 祝圆 月噎祝皂原员 月暂 第 源 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 王晓晓袁等院广播信号下非一致多智能体系统的能控性 窑源园猿窑