§4收敛准则 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1单调有界数列必定收敛 证不妨设数列{xn}单调增加且有上界,根据确界存在定理,由 {xn}构成的数集必有上确界β,β满足 (1)neN+:xn≤B; (2)Ve>0, 3x: x>B-a 取N Vn>w B-8 ≤xn≤B 因而x-B<E,于是得到 lim x,=Bo 证毕单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。 证 不妨设数列{ xn }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { xn }构成的数集必有上确界β ，β 满足： (1) + n ∈∀ N : xn ≤ β ； (2) ∀ > ε 0 ，∃ xn0 : xn0 > β − ε 。 取 N n = 0 , ∀ n N > ： β − ε < ≤ xx nn ≤ β 0 ， 因而 n x − < β ε ，于是得到 lim n→∞ xn = β 。 证毕 §4 收敛准则