·研究与分析· 低压电器(2010%2) 1-exp{-(r:-T-1)入}(7) (B-4o)T∑。(B-o)] (12) m,=n- 月4：三1,2 -I i-I 要得到参数的后验边际分布，需要进行高维 根据式(7)，可得到似然函数： 积分，形式很复杂，MCMC方法在贝叶斯估计中的 应用有效解决了这一问题。MCMC方法主要应用 B5,）=alnb,mL,)f 在多变量，非标准形式，且各变量相互不独立时分 (rln,L,n1,-1,L,）c 布的模拟。基于贝叶斯推断原理的MCMC方法 是对理想的贝叶斯推断过程的一种近似，主要用 自[Rjr1-RIg 于产生后验分布的样本、计算边缘分布、以及后验 分布的矩。Gbbs抽样是最简单、应用最广泛的 I[1-ep-(,--Al]. MCMC方法，它是由Geman)最初命名提出的，它 [exp{-(r-T-1)}] (8) 的想法很直观，首先固定其他参数，利用多元先验 从而，可得到参数(B,)的对数似然函数为 分布得到参数的满条件分布，再从满条件分布中 抽取参数样本。 Inbocin[1p(1(). 根据多元先验分布可得到参数的满条件分布 (B+1))]-(m:-n)(r:-T-)· 分别为 (B's:+1) (9) r(EIB,3,n,r)cL(5,BIs,n,r)·π（专） 对数似然函数分别对(B,)求一阶偏导数 带-含(-a(8+wa1- x[1-epl-（,-)(B'+ 1)f}]·[exp{-(:-T:-1)(βs:+ exp(-（T:-T-1)(βs+1))]- 1)1]-,cL(传，B,B-1s,n,）·r(B, (m-n:)}=0 B(-)o I [1-expl -(T:-T)(B's,+ ￥-宫{-+1. 1)]·[exp{-(r-T-)(β's:+ B's: 1)41]-·expl-l/2·(B-)T· (β's:+1) n(p+少]}· ∑。(B-o)] (13) In;[1 exp(-(T:-Ti)(B:s+ 其中B-”={B,1s=0,L,M,s≠i引。给定B 1))]1-(m-n)]}=0(10) 的初始值Bo=(B,B,L,B0),则参数B的 显然似然方程解析解很难求得，采用Newton~ Gibbs抽样过程如下： Raphson方法即可求得数值解。 (1)从满条件分布π(BlB,B,L,B9,s, 2.2寿命数据的贝叶斯分析和MCMC方法 n,r),π(B1IB1B,B,L,9,5,n,r)和 取的先验分布为(-h,h)上的均匀分布：B π(Bul%,P,L,B2,s,n,r)分别抽取样本 的先验分布为均值=0，协方差矩阵∑。= ,B,…。 σ1M,1的多元正态分布，密度函数为 (2)由(1)即得到B到B的一次转移，经 r(B)c|∑oexpt-l/2·(B-u)r· 过·次迭代，可得到马尔可夫链的实现值B, ∑。'(B-o)] B,B0。 (11) (3)重复上述过程q次，得到q个独立参数 结合似然函数式(8)及参数的先验分布，根 样本序列6，B,LB号U=1,2,L,9)。对每一 据贝叶斯理论，可得参数的联合后验分布为 个i,p,P盟，L,Pg(i=0,1,L,M)可以看作是参 Bfn）=夏1-6p1-(-- 数边际分布T(B:Is,n,)的一个样本，因此后验 (邱'+1)][ep-(r-T-)(β'，+ 边际分布函数可用下式估计： 1)]-l∑1-nexp[-1/2· B,l5,n,r）=立T(B,B,L,B%vB8, 9台 -15- 万方数据·研究与分析· 低压电器I加10№2) 1一exp{一(丁‘一rf—1)Af} (7) i一1 f—I rrgf=，l一∑nj一∑o，i=1，2，L，k 根据式(7)，可得到似然函数： I L(卢，fIs，，l，r)=丌以心In；一。，L，n。，ri一。，￡，r。)·f (r‘I毗，￡，n1，rf-l，￡，r1)oc I 兀[E(t，rH)H1-F；(％亿。)]叫“；能 I=l 毒 兀[1一eXp{一(死一下川)A朋¨ [exp{一(丁l—ri—1)A；}] (8) 从而，可得到参数(卢，f)的对数似然函数为 lnLoc∑IniIn[1一exp(1一(气一亿1)· (螽p7sl+1)1膳)]一(mi—rt‘)(ri—ri—1)· (够7s￡+1)1省 (9) 对数似然函数分别对(卢，亭)求一阶偏导数 学2酗(rt吖¨)(够7”])i／,f-i h[1- exp(一(ri一下i—1)(自B’si+1)1省)]～一 (mi—ni)}=0 虿OlnL=毫h 1_1)(锣’"1)l钆 【蒜1一半】)． 【孝(够’si+) f J J I，l‘[1一exp(一(下‘一下i—1)(舂雕。si+ 1)V‘)]～一(m；一，li)]}=0 (10) 显然似然方程解析解很难求得，采用Ne叭on￾Raphson方法即可求得数值解。 2．2寿命数据的贝叶斯分析和MCMC方法 取亭的先验分布为(一h，h)上的均匀分布；卢 的先验分布为均值砌=0，协方差矩阵∑。= 以如+，的多元正态分布，密度函数为 仃(卢)oc I∑o I’1门exp[一1／2·(p一肛。)’· ∑i1(卢-tz。)] (11) 结合似然函数式(8)及参数的先验分布，根 据贝叶斯理论，可得参数的联合后验分布为 ，r(J6I，f15，rg sr)=丌[1一exp{一(t一丁H)· (够1’s‘+1)1省I]～[exp{一(r—ri—I)(自B’si+ 1)w I]吣”‘·I∑o I“尼exp[一1／2· (口一肛o)7∑f1(p一弘o)] (12) 要得到参数的后验边际分布，需要进行高维 积分，形式很复杂，MCMC方法在贝叶斯估计中的 应用有效解决了这一问题。MCMC方法主要应用 在多变量、非标准形式，且各变量相互不独立时分 布的模拟。基于贝叶斯推断原理的MCMC方法 是对理想的贝叶斯推断过程的一种近似，主要用 于产生后验分布的样本、计算边缘分布、以及后验 分布的矩。Gibbs抽样是最简单、应用最广泛的 MCMC方法，它是由Geman[5J最初命名提出的，它 的想法很直观，首先固定其他参数，利用多元先验 分布得到参数的满条件分布，再从满条件分布中 抽取参数样本。 根据多元先验分布可得到参数的满条件分布 分别为 仃(亭I卢，s，，l，r)Ⅸ￡(亭，卢I s，厅，r)·qr(手) 上 ∞I I[1一exp{一(ri一丁‘一I)(筘’瓯+ i=1 1)1省}]～·[exp{一(Jri一丁i—1)(自B7邑+ 1)1省}]mi-Ai，ocL(5e，卢。，p‘-i)I s，n，r)·仃(展， I 卢‘-0)oc兀[1一exp卜(t一亿1)(筘1屯+ 1)1僧}]“i·[exp{一(ri一下l—I)(够’sf+ 1)1借}p”；·exp[一1／2·(p一，‘o T· ∑彳1(卢一p。)] (13) 其中卢卜订={成I s=0，L，M，s≠i}。给定卢 的初始值卢‘0’=(反∞，JB}们，J已，甜’)7，则参数p的 Gibbs抽样过程如下： (1)从满条件分布仃(风I卢：们，碰∞，L，筒’，s， n，r)，仃(卢。I芦；∞l咸叭，卢笋’，己，卢箸’，s，n，r)和 仃(鼬I威们，卢：们，￡，卢艘。，s，n，r)分别抽取样本 麟¨，麒¨，…，硝’。 (2)由(1)即得到卢‘0’到J6I“’的一次转移，经 过t次迭代，可得到马尔可夫链的实现值卢‘0’， 卢‘¨，…，卢‘”。 (3)重复上述过程q次，得到q个独立参数 样本序列JB占’，口：■￡，卢罐(J=1，2，L，q)。对每一 个i，硝’，雕’，￡，雕’(i=o，l，二，肘)可以看作是参 数边际分布7r(pi I s，，l，r)的一个样本，因此后验 边际分布函数可用下式估计： 椰∽I¨)=寺砉椰i l雕’，郇：‰鲋u， ··-——15·—-—— 万方数据