多元函数的概念 我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个,但是在实际问题中,所涉及的函数的自变量的个 数往往是两个,或者更多 2 例:一个园柱体的体积3与两个独立变量功h有关。 们先以二个独立的变量为基础,来给出二元函数的定义 二元函数的定 e义 设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中,任取一组数值时,第三个变量z就以某 确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量z称为变量x与y的二元函数。 记作:z=f(xy).其中x与y称为自变量,函数z也叫做因变量,自变量x与y的变域D称为 函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间二元函数的定义域通常是由平面上 条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面这样的部分在平面称为区域围成区域的曲线称为区 域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为 开域 如果一个区域D(开域或闭域)任意两点之间的距离都不超过某一常数M,则称D为有界区域: 否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示 例题 的定义域 解答:该函数的定义域为:x2s20 二元函数的几何表示 把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在xOy平面内作出函数z=f(xy)的定义 域D:再过D域中得任一点M(xy)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函 数值z 当M点在D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f(xy)的几何图形它通常是一张曲面 其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影 元函数的极限及其连续性 在一元函数中,我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(xy)我们 同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与n时,函数z的变化状态 在平面xOy上,(xy)趋向Gn)的方式可以时多种多样的,因此二元函数的情况要比一元函数复 杂得多。如果当点(xy)以任意方式趋向点(ξ,n)时,f(xy)总是趋向于一个确定的常数A, 那末就称A是二元函数f(xy)当(x,y)→(ξ,n)时的极限 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用δ语言给出二重极限的严格定义:多元函数的概念 我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个 数往往是两个，或者更多。 例：一个圆柱体的体积 与两个独立变量 r,h 有关。` 我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。 二元函数的定义 设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一 确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。 记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为 函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一 条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区 域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为 开域。 如果一个区域 D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数 M，则称 D 为有界区域； 否则称 D 为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示： 例题：求 的定义域. 解答：该函数的定义域为：x≥ ,y≥0. 二元函数的几何表示 把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=f(x,y)的定义 域 D；再过 D 域中得任一点 M(x,y)作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP,使其值为与(x,y)对应的函 数值 z； 当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面， 其定义域 D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。 二元函数的极限及其连续性 在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数 z=f(x,y)我们 同样可以学习当自变量 x 与 y 趋向于有限值 ξ 与 η 时，函数 z 的变化状态。 在平面 xOy 上，(x,y)趋向(ξ,η )的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复 杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数 A， 那末就称 A 是二元函数 f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用 ε-δ 语言给出二重极限的严格定义：