·1328· 工程科学学报，第38卷，第9期 置密切相关回，所以有效提取瞬态冲击对滚动轴承故 构造出解析信号z().在时域中，令解析信号z()与 障诊断至关重要 e卫相乘，将其频谱移频至相应的基频带. 近年来能量算子在检测信号瞬态成分中发挥了独 (t)=2(t)e= 特的优势.Teager等首先在分析声音信号的过程中提 出了信号的非线性处理方法，后来Kaiser和Ma- (2) ragos等圆系统地介绍Teager--Kaiser能量算子并成功 通过频移后信号zu()梯度的平方L2范数来估计 分析调幅-调频及时变调制信号.Potamianos和Mara- 各本质模式函数的带宽.使各本质模式函数带宽之和 gos仞对Teager--Kaiser能量算子进行改进，并与Hilbert 达到最小，从而实现信号x(:)的最优分解，即得到变 变换进行对比，进一步说明能量算子在信号解调分析 分问题 中的优势.Cheng等圆利用经验模式分解将信号分解 品{2a[(0+）0]e} 为多个本质模式函数，并通过能量算子对部分本质模 (3) 式函数进行解调分析，成功诊断了旋转机械故障. Liang和Faghidi网在Teager一Kaiser能量算子的基 式中，：必须满足名4=，且有{u,:=u,“ 础上，提出能够同时提高信号干扰比(SR)和信噪比 …,ux},{f}:={,,…,f},其中K为本质模式函 (SNR)的微积分增强能量算子.该算法主要由微分和 数总数. 积分两部分构成：微分过程减弱低频噪声的影响，提高 通过拉格朗日乘子法、二次惩罚函数将上述约束 信号SIR:积分过程提高信号SNR.若利用微积分增强 条件和式(3)所示的变分问题转换为无约束问题 能量算子分析滚动轴承振动信号，则可以降低背景噪 L({u},{f},A)= 声的影响，突出信号中的冲击特征：但能量算子要求输 入信号必须为单分量@ a2a,(so+)4o]e-+ 实测滚动轴承振动信号成分复杂，具有多分量的 0-240+(00-240） 特点，而且受背景噪声和其他成分的干扰，故障特征通 常淹没于各类干扰成分和背景噪声中.Dragomiretskiy (4) 和Zosso提出的变分模式分解可以自适应地将复杂 式中，入为拉格朗日乘子，α为惩罚因子 信号分解为一系列单分量.考虑到变分模式分解和微 通过乘法算子交替方向法对式(4)进一步求解， 积分增强能量算子在信号处理中的优势，本文在这两 得到本质模式函数“，()及其对应的中心频率f为 种方法的基础上提出基于变分模式分解和微积分增强 =m{a小a(0+）u@]小e+ 能量算子的滚动轴承故障诊断方法. (5) 1冲击特征提取方法 0-Σ40+29} 1.1变分模式分解 "=gmm{a[(60+）0]小e} 变分模式分解是一种全新的信号自适应非递归分 (6) 解方法.它可以将复杂信号x()分解为一系列本质模 式中，n表示迭代次数. 式函数，且各本质模式函数围绕其中心频率波动四. 由Parseval/Plancherel定理，将本质模式函数 变分模式分解的非递归分解有效避免递归分解带来的 u,()及中心频率f转换至频域得 诸多问题，如分解终止准则的确定和边界效应2- 而且变分模式分解对噪声的鲁棒性优于典型的递归分 交”=gmm{ajV-f月〖1+g)a0]Ii+ 解方法如经验模式分解，同时变分模式分解具有严格 0-Σ09} (7) 的理论推导过程，具备坚实的理论基础四 本质上，满足单分量要求的本质模式函数是调制 =agmi{-月产1i,1明 .(8) 信号，可以表示为调幅一调频过程 u(t）=A(t)cos[Φ，(）]. (1) 对于本质模式函数wu(t）,利用Hermitian的对称性质， 式(7)可以简化为非负频率区间内的积分 式中，u(t)为第k个本质模式函数，且u(t)所对应的 中心频率为f,A(t）为幅值调制部分，中.(t)为频率调 =gm{厂4a-)2i.0+ 制部分. (9) 对式(1)所示的调幅一调频信号进行Hilbert变换， 20-Σ0+2|工程科学学报，第 38 卷，第 9 期 置密切相关［2］，所以有效提取瞬态冲击对滚动轴承故 障诊断至关重要． 近年来能量算子在检测信号瞬态成分中发挥了独 特的优势． Teager 等首先在分析声音信号的过程中提 出了信号的非线性处理方法［3］，后来 Kaiser ［4--5］和 Ma￾ragos 等［6］系统地介绍 Teager--Kaiser 能量算子并成功 分析调幅--调频及时变调制信号． Potamianos 和 Mara￾gos ［7］对 Teager--Kaiser 能量算子进行改进，并与 Hilbert 变换进行对比，进一步说明能量算子在信号解调分析 中的优势． Cheng 等［8］利用经验模式分解将信号分解 为多个本质模式函数，并通过能量算子对部分本质模 式函数进行解调分析，成功诊断了旋转机械故障． Liang 和 Faghidi ［9］在 Teager--Kaiser 能量算子的基 础上，提出能够同时提高信号干扰比( SIＲ) 和信噪比 ( SNＲ) 的微积分增强能量算子． 该算法主要由微分和 积分两部分构成: 微分过程减弱低频噪声的影响，提高 信号 SIＲ; 积分过程提高信号 SNＲ． 若利用微积分增强 能量算子分析滚动轴承振动信号，则可以降低背景噪 声的影响，突出信号中的冲击特征; 但能量算子要求输 入信号必须为单分量［10］． 实测滚动轴承振动信号成分复杂，具有多分量的 特点，而且受背景噪声和其他成分的干扰，故障特征通 常淹没于各类干扰成分和背景噪声中． Dragomiretskiy 和 Zosso ［11］提出的变分模式分解可以自适应地将复杂 信号分解为一系列单分量． 考虑到变分模式分解和微 积分增强能量算子在信号处理中的优势，本文在这两 种方法的基础上提出基于变分模式分解和微积分增强 能量算子的滚动轴承故障诊断方法． 1 冲击特征提取方法 1. 1 变分模式分解 变分模式分解是一种全新的信号自适应非递归分 解方法． 它可以将复杂信号 x( t) 分解为一系列本质模 式函数，且各本质模式函数围绕其中心频率波动［11］． 变分模式分解的非递归分解有效避免递归分解带来的 诸多问题，如分解终止准则的确定和边界效应［12--14］． 而且变分模式分解对噪声的鲁棒性优于典型的递归分 解方法如经验模式分解，同时变分模式分解具有严格 的理论推导过程，具备坚实的理论基础［15］． 本质上，满足单分量要求的本质模式函数是调制 信号，可以表示为调幅--调频过程 uk ( t) = Ak ( t) cos［k ( t) ］． ( 1) 式中，uk ( t) 为第 k 个本质模式函数，且 uk ( t) 所对应的 中心频率为 fk，Ak ( t) 为幅值调制部分，k ( t) 为频率调 制部分． 对式( 1) 所示的调幅--调频信号进行 Hilbert 变换， 构造出解析信号 z( t) ． 在时域中，令解析信号 z( t) 与 e － j2πf kt 相乘，将其频谱移频至相应的基频带． zM ( t) = z( t) e － j2πf kt [ ( = δ( t) + j π ) t * uk ( t ] ) e － j2πf kt ． ( 2) 通过频移后信号 zM ( t) 梯度的平方 L2 范数来估计 各本质模式函数的带宽． 使各本质模式函数带宽之和 达到最小，从而实现信号 x( t) 的最优分解，即得到变 分问题 min { uk} ，{ fk} { ∑k t [ ( δ( t) + j π ) t * uk ( t ] ) e － j2πf kt } 2 2 ． ( 3) 式中，uk 必须满足 ∑k = 1 uk = x( t) ，且有{ uk } : = { u1，u2， …，uK } ，{ fk } : = { f1，f2，…，fK } ，其中 K 为本质模式函 数总数． 通过拉格朗日乘子法、二次惩罚函数将上述约束 条件和式( 3) 所示的变分问题转换为无约束问题 L( { uk } ，{ fk } ，λ) = α ∑k t [ ( δ( t) + j π ) t * uk ( t ] ) e － j2πf kt 2 2 + x( t) － ∑k uk ( t) 2 2 + λ( t) ，x( t) － ∑k uk ( t) ． ( 4) 式中，λ 为拉格朗日乘子，α 为惩罚因子． 通过乘法算子交替方向法对式( 4) 进一步求解， 得到本质模式函数 uk ( t) 及其对应的中心频率 fk 为 un +1 k = arg min uk∈X { α t [ ( δ( t) + j π ) t * uk ( t ] ) e － j2πf kt 2 2 + x( t) － ∑i ui ( t) + λ( t) 2 } 2 2 ， ( 5) f n +1 k = arg min f { k t [ ( δ( t) + j π ) t * uk ( t ] ) e － j2πf kt } 2 2 ． ( 6) 式中，n 表示迭代次数． 由 Parseval /Plancherel 定 理，将 本 质 模 式 函 数 uk ( t) 及中心频率 fk 转换至频域得 u^n +1 k = arg min u^ k，uk∈X { α ‖j( f － fk ) ［( 1 + sgn ( f) ) u^ k ( f) ］‖2 2 + x^( f) － ∑i u^ i ( f) + ^ λ( f) 2 } 2 2 ， ( 7) f n + 1 k = arg min f { k ∫ ∞ 0 ( f － fk ) 2 | u^ k ( f) | 2 df} ． ( 8) 对于本质模式函数 uk ( t) ，利用 Hermitian 的对称性质， 式( 7) 可以简化为非负频率区间内的积分 u^ n + 1 k = arg min u^ k，uk∈X { ∫ ∞ 0 4α ( f － fk ) 2 | u^ k ( f) | 2 + 2 x^( f) － ∑i u^ i ( f) + ^ λ( f) 2 2 df } ． ( 9) ·1328·