§2.6条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两 个随机变量，就需要它们的联合分布列.设二维随机变量为(5，刀)，其可能的取值为 (a,b,)1,j=1,2…在例2.7中，为了计算联合分布列，曾得用条件概率的公式也就是： P(==b)=P(=a,In=b)P(n=b,) 其中p(5=a,|n=b,)是表示n=b,的条件下，5=a,的概率，常常记作P当固定j而变动 i时，可以得到一列P,i=1,2,…,容易验证有 (0)Pu20,i=1,2, ②2Pmw=l 这说明{Pw,i=l,2,}具有分布列的两个性质事实上，{Pu,i=l,2,}确是一个分布 列，它描写了在刀=b,的条件下，随机变量：的统计规律当然，一般说来这个分布列与5原来 的分布列P,不同，称为条件分布列如果(E,)的联合分布列为P,为已知，则边际分布列为 p,=∑Pa 由此即可求得条件分布列 (2.32) P.i 由对称性还有 (2.33) 反过来如果已知PU,P,也可求得联合分布列Pg=PuP,(仁PmP） 在§2.2中曾经讨论了随机变量的独立性，显然，当5与n是相互独立的随机变量时，有 Pu=P.) 成立 既然P是一个分布列，当然也可以对这个分布列求数学期望，如果：可能取值为 a,=1,2,),我们引入下述定义§ 2.6 条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律,如果要同时研究两 个随机变量, 就需要它们的联合分布列. 设二维随机变量为(  ,  ), 其可能的取值为 (ai ,bj ),i, j = 1,2 在例 2.7 中,为了计算联合分布列,曾得用条件概率的公式,也就是: ( , ) ( | ) ( ) P  = ai  = bj = P  = ai  = bj P  = bj 其中 ( | ) p  = ai  = bj 是表示  = bj 的条件下, = ai 的概率,常常记作 i j p | 当固定 j 而变动 i 时,可以得到一列 , 1,2, , pi| j i =  容易验证有 (1) 0, 1,2, ; pi| j  i =  (2)   = = 1 | 1. i pi j 这说明 { , 1,2, ;} pi| j i =  具有分布列的两个性质.事实上, { , 1,2, ;} pi| j i =  确是一个分布 列,它描写了在  = bj 的条件下,随机变量  的统计规律.当然,一般说来这个分布列与  原来 的分布列 i p 不同,称为条件分布列.如果(  , )的联合分布列为 i j p | 为已知,则边际分布列为   =  = i 0 p j pij 由此即可求得条件分布列 j ij i j p p p  | = (2.32) 由对称性还有  = i ij j i p p p | (2.33) 反过来,如果已知 i j p | , j p 也可求得联合分布列 ( ) pij = pi| j p j = p j|i pi 在§2.2 中曾经讨论了随机变量的独立性,显然,当  与  是相互独立的随机变量时,有 pi| j = pi p j|i = p j , 成立. 既然 i j p | 是一个分布列, 当然也可以对这个分布列求数学期望, 如果  可能取值为 a (i =1,2, ) i ,我们引入下述定义