数学分析教程·。… 的坐标.以此单位长从原点开始往左量，量得线段OQ的长为x',则以-x'表示Q 点，叫作Q点的坐标.这样，1上每一点都对应一个实数，即该点的坐标，1叫作数 轴.有了数轴就可以建立平面和空间坐标系，从而就可以建立解析几何学. 至此，问题还没有完.数轴上每一点都对应一个实数为其坐标，那么每一实数 是否都是数轴上某点的坐标呢？也就是说，全体实数是否正好充满整个数轴？答 案是肯定的，但严格的证明要等证明了闭区间套定理（定理1.5.2）之后才能给出， 但对任何有理数p/q,很容易找到数轴上和它对应的点：把单位长度分成g等份， 找出代表1/q的那一点，由此便容易找出代表p/9的那一点. 对固定的正整数q,让p取遍所有的整数，那么p/q这些数把数轴分成一些 长度为1/q的区间.每一个实数x位于这些区间中的一个区间，这就是说，对任意 固定的实数x,一定可找出一个整数p,使得 卫≤x< P+1 9 这个不等式等价于 0≤x-卫< q q 由此得 x-< 由于q是任意取定的正整数，我们可以事先把q取得充分大，以至使1/q小于我 们预想的值.上面那个不等式表明：每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的 程度 不等式在数轴上的表示是非常形象的：a<b意即a在b的左边.设a<b,所 有在a与b之间的点的集合称为开区间，我们写为 (a,b)={x:a<x<b} 闭区间[a,b]是由开区间(a,b)添上两个端点而组成的，即 [a,b]={x:a≤x≤b}. 半开或半闭的区间(a,b]或[a,b)可类似地定义.记R=(-∞，+∞)，对a∈R, 定义 (-∞，a]={x∈R:x≤a}，,(a,+∞)={x∈R:x>a} 一个数x的绝对值是指它到原点的距离，记为|x【.点x与y之间的距离是 x-y|.对任何实数x与y,我们有 -|x|≤x≤x,-|y|≤y≤|yI, ·4