·502 北京科技大学学报 第34卷 E[☑(]=m(m为常数) (2) 0, h=0 ②区域化变量Z(x)的空间协方差函数存在且 y(h)= Co +C 0<h≤a; 平稳，即 Cov[☑(x),Z(x+)]=E[☑(x)Z(x+)]-m2= Co +Cx h >a. C(h),Yx,h. (3) (10) 在二阶平稳假设下， 式中，C。为块金常数，C为基台值，a为变程 E[☑(x+h)]=m=E[☑(x)],Hh,Hx.(4) (2)高斯模型.通式为 变异函数可改写为 0, h=0: y(h)= y(s.)=Var [z()-Z(s+]-E(Z()- C。+c(1-e5),h>0. (11) Zx+月]2-EZ(国]-EZx+)]2= 式中a不是变程，由于当h=5a,l-e兰-1-e3≈ 0.95≈1，即当h=3a时，y(h)≈C。+C,所以该模 E()-7 (5) 型的变程为3a,其他符号含义同式(10) (2)内蕴假设.当区域化变量Z(x)的增量 (3)指数模型.一般公式为 Z(x)-Z(x+h)满足以下两个条件时，称边坡范围 rO, h=0: y(h)= (12) 内区域化变量Z(x)满足内蕴假设. C。+c(1-e),h>0. ①区域化变量Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)的 式中，当h=3a时，1-e是=1-e=0.95=1,即 数学期望为0，即 当h=3a时，y(h)≈C。+C,所以该模型变程为3a, E [Z (x)-Z(x+h)]=0,h,Vx. (6) 其他符号含义同式(10). ②对于所有矢量的增量Z(x)-Z(x+h)的方 2.6基于Closest Point算法的结构分析 差函数存在且平稳，即 (I)Closest Point算法.Closest Point算法是在 Var☑(x)-Z(x+)]=E[☑(x)-Z(x+h)]2= 最小生成树算法Pim算法基础上改造而成的，其基 2y(x,h)=2y(h),Yx,Yh. (7) 本原理为：选取区域内任一点，为初始环，找出离环最 在内蕴假设下，E[☑(x)-Z(x+)]2仅依赖 近的点u,将u插到v后面得到一个新的环，重复以上 于分割他们的距离IhI和方向a,与点x的位置无 的步骤直到设定的点间距离或所有点都包在环内. 关，因此变异函数可改写为 (2)结构分析.在露天矿边坡岩土层拟合过程 yh,a)=EZ()-zx+0]2. (8) 中，由于区域化变量Z(x)的变化性很复杂，在不同 方向上有不同的变化性，或者在一个方向上包含着 2.4试验变异函数 不同尺度的多层次变化性，因而无法用一个理论模 在露天矿边坡岩土层拟合过程中，钻孔得到的 型拟合。为全面了解区域化变量的变异性，必须进 数据点是有限的，把所有已知点数据构制的变异函 行结构化分析，即构造一个变异函数模型对于全部 数称之为试验变异函数，记为y(h): 有效结构信息作定量化的概括，以表征区域化变量 1 N(A) V=2N三)-z6+0]3o) 的主要特征.结构分析的主要方法是套合结构，即 把分别出现在不同距离Ih1上和（或）不同方向a上 式中，N(h)为被矢量h相分隔的试验数据对的 同时起作用的点数据变异性组合起来.套合结构可 数目. 以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表 2.5理论模型 一种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为 变异函数构制完成后，可以解决边坡范围内区 y(h)=yo(h)+y1(h)+…+y:(h)+….(13) 域化变量Z(x)的变化特征和结构性状的问题，要完 传统的套合结构在露天矿边坡拟合过程中没有 成整个露天矿边坡岩土层的拟合，就必须给试验变 考虑其数据离散的特点，将离散性很大的两侧边坡 异函数配以相应的理论模型，直接参与到Kriging插 钻孔数据组合到一起进行拟合，拟合结果与实际相 值计算中.最常用的理论模型有球状模型、高斯模 差较大. 型及指数模型闭 本文基于Closest Point算法，设定露天矿边坡 (1)球状模型.一般公式为 实际宽度H为终止的点间距离，每一个岩土层设置北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 E［Z( x) ］= m ( m 为常数) ． ( 2) ② 区域化变量 Z( x) 的空间协方差函数存在且 平稳，即 Cov［Z( x) ，Z( x + h) ］= E［Z( x) Z( x + h) ］－ m2 = C( h) ，x，h． ( 3) 在二阶平稳假设下， E［Z( x + h) ］= m = E［Z( x) ］，h，x． ( 4) 变异函数可改写为 γ( x，h) = 1 2 Var［Z( x) － Z( x + h) ］= 1 2 E［Z( x) － Z( x + h) ］2 － 1 2 { E［Z( x) ］－ E［Z( x + h) ］} 2 = 1 2 E［Z( x) － Z( x + h) ］2 ． ( 5) ( 2) 内蕴假设． 当区域化变量 Z ( x) 的增量 Z( x) %Z( x + h) 满足以下两个条件时，称边坡范围 内区域化变量 Z( x) 满足内蕴假设． ① 区域化变量 Z( x) 的增量 Z( x) %Z( x + h) 的 数学期望为 0，即 E［Z( x) － Z( x + h) ］= 0，h，x． ( 6) ② 对于所有矢量的增量 Z( x) %Z( x + h) 的方 差函数存在且平稳，即 Var［Z( x) － Z( x + h) ］= E［Z( x) － Z( x + h) ］2 = 2γ( x，h) = 2γ( h) ，x，h． ( 7) 在内蕴假设下，E ［Z( x) － Z( x + h) ］2 仅依赖 于分割他们的距离 | h | 和方向 α，与点 x 的位置无 关，因此变异函数可改写为 γ( h，α) = 1 2 E［Z( x) － Z( x + h) ］2 ． ( 8) 2. 4 试验变异函数 在露天矿边坡岩土层拟合过程中，钻孔得到的 数据点是有限的，把所有已知点数据构制的变异函 数称之为试验变异函数，记为 γ* ( h) : γ* ( h) = 1 2N( h) ∑ N( h) i = 1 ［Z( xi ) － Z( xi + h) ］2 ． ( 9) 式中，N( h) 为被矢量 h 相分隔的试验数据对的 数目． 2. 5 理论模型 变异函数构制完成后，可以解决边坡范围内区 域化变量 Z( x) 的变化特征和结构性状的问题，要完 成整个露天矿边坡岩土层的拟合，就必须给试验变 异函数配以相应的理论模型，直接参与到 Kriging 插 值计算中． 最常用的理论模型有球状模型、高斯模 型及指数模型［13］． ( 1) 球状模型． 一般公式为 γ( h) = 0， h = 0; C0 + C ( 3 2 × h a － 1 2 × h3 a3 ) ， 0 ＜ h≤a; C0 + C， h ＞      a． ( 10) 式中，C0为块金常数，C 为基台值，a 为变程． ( 2) 高斯模型． 通式为 γ( h) = 0， h = 0; C0 + C( 1 － e － h2 a2 { ) ， h ＞ 0． ( 11) 式中 a 不是变程，由于当 h =槡3a，1 － e － h2 a2 = 1 － e －3 ≈ 0. 95≈1，即当 h = 槡3a 时，γ( h) ≈C0 + C，所以该模 型的变程为槡3a，其他符号含义同式( 10) ． ( 3) 指数模型． 一般公式为 γ( h) = 0， h = 0; C0 + C( 1 － e － h a { ) ， h ＞ 0． ( 12) 式中，当 h = 3a 时，1 － e － h2 a2 = 1 － e － 3 ≈0. 95≈1，即 当 h = 3a 时，γ( h) ≈C0 + C，所以该模型变程为 3a， 其他符号含义同式( 10) ． 2. 6 基于 Closest Point 算法的结构分析 ( 1) Closest Point 算法． Closest Point 算法是在 最小生成树算法 Prim 算法基础上改造而成的［14］，其基 本原理为: 选取区域内任一点 v 为初始环，找出离环最 近的点 u，将 u 插到 v 后面得到一个新的环，重复以上 的步骤直到设定的点间距离或所有点都包在环内． ( 2) 结构分析． 在露天矿边坡岩土层拟合过程 中，由于区域化变量 Z( x) 的变化性很复杂，在不同 方向上有不同的变化性，或者在一个方向上包含着 不同尺度的多层次变化性，因而无法用一个理论模 型拟合． 为全面了解区域化变量的变异性，必须进 行结构化分析，即构造一个变异函数模型对于全部 有效结构信息作定量化的概括，以表征区域化变量 的主要特征． 结构分析的主要方法是套合结构，即 把分别出现在不同距离 | h | 上和( 或) 不同方向 α 上 同时起作用的点数据变异性组合起来． 套合结构可 以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表 一种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为 γ( h) = γ0 ( h) + γ1 ( h) + … + γi ( h) + …． ( 13) 传统的套合结构在露天矿边坡拟合过程中没有 考虑其数据离散的特点，将离散性很大的两侧边坡 钻孔数据组合到一起进行拟合，拟合结果与实际相 差较大． 本文基于 Closest Point 算法，设定露天矿边坡 实际宽度 H 为终止的点间距离，每一个岩土层设置 ·502·