2003年考研数学(一)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)lim(cos x)n+r")= 【分析】1型未定式,化为指数函数或利用公式lmf(x)3((1)=em(x)1)g(进 计算求极限均可 【详解1】lmn(csx)m0+x)=en4x)mx 而lim In cos x=lim-_2 In cos x lim cosx Ind 故原式=e2=1 【详解2】因为lin(cosx-1) =m-2 ln(1+x2) 所以原式=e2=1 【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P2425【例1.30-31】 (2)曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是 2x+4 【分析】待求平面的法矢量为n={24,-1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程,而切点坐标可根据曲面z=x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,-1}平行确定 【详解】令F(x,y,z)=z-x2 F=1 设切点坐标为(x,y0,0),则切平面的法矢量为{-2x-2y0,1},其与已知平面 2x+4y-z=0平行,因此有1 2003 年考研数学（一）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = e 1 . 【分析】  1 型未定式，化为指数函数或利用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 )  = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行 计算求极限均可. 【详解 1】 ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = x x x e lncos ln(1 ) 1 lim 2 →0 + , 而 2 1 2 cos sin lim ln cos lim ln(1 ) ln cos lim 0 2 0 2 0 = − − = = → + → → x x x x x x x x x x ， 故 原式= . 1 2 1 e e = − 【详解 2】 因为 2 2 1 1 lim ln(1 ) 1 lim (cos 1) 2 2 0 2 0 = − − = + −  → → x x x x x x ， 所以 原式= . 1 2 1 e e = − 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例 1.30-31】. （ 2 ） 曲 面 2 2 z = x + y 与平面 2x + 4y − z = 0 平行的切平面的方程是 2x + 4y − z = 5 . 【分析】 待求平面的法矢量为 n = {2,4,−1}  ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程, 而切点坐标可根据曲面 2 2 z = x + y 切平面的法矢量与 n = {2,4,−1}  平行确定. 【详解】 令 2 2 F(x, y,z) = z − x − y ，则 F x x  = −2 ， F y y  = −2 ， F z  =1. 设切点坐标 为 ( , , ) 0 0 0 x y z ，则切平面 的法矢量 为 { 2 , 2 ,1} 0 0 − x − y ，其与已知 平面 2x + 4y − z = 0 平行，因此有