第四章 Hankel范数模型逼近理论 则(f,g)是一个内积。此时导出范数 1/2 f|2 f(t)f(t)dt 表示信号∫(t)的总能量。用 Lebesgue空间C2(-x,∞)表示所有总能量有限的信号f(t),即 C2(-∞,∞)={f:‖f|2<∞} (4.3) 记C2(0,∞)为C2(-∞,∞)中的所有在负时间轴上取值为零的函数的集合,显然C2(0,∞)是C2(-∞, 上的一个闭子空间,其正交补C2(-∞,0)为{f(t):f(t)=0,t>0}.于是 c2(-∞,∞)=C2(0,∞)c(-∞,0) 相应地,任何一个f∈C2(-∞,∞)都可分解为 f=ff这里f。∈C2(0,∞),fa∈C2(-x,0 ∫。叫做∫的因果( causal)部分,∫a。叫做∫的反因果(anti- causal)部分。这种叫法的原因是我们的时空 在时间轴上是因果的 412频域信号 (43)式说明,C2(-∞,∞)中的信号f(t)都是平方可积的。根据积分变换理论可对f(t)∈C2(-∞,∞) 进行 Fourier变换 f(t)e dt (j)是f(t)在频域中的表达。f(j)也可看作是f(s)当s=ju时的取值,这里f(a)是f(t)的双边 Bilateral) Laplace变换。显然,按通常意义下的加法和标量乘,所有的频域信号,即f(s)=C{f(t)},也 构成一个线性空间。由 Laplace变换的线性,可知 (f+g)(t) (f+g)(s) (af)(t) cf(s) 用S表示这个线性空间,于是 我们用C2表示所有在虚轴上平方可积的复变函数f(s)的集合,即 f(ju)f(j)du<∞ 在C2上定义内积 (f, g) f (wg(w)de 则导出范数|H|2=√(,分由Pae等式(f,9)=(f,g)可得|fl2=2 对于∫(t)∈C2(0,∞),相应的f(s)在右半平面内解析。所有在右半平面内解析且满足条件‖f|2< 的函数定义了C2的一个子空间,记为h2. Fourier变换建立了C2(0,∞)和2之间的同构关系。H2的 正交补空间记为H2,则2与C2(-∞,0)同构。于是 显然,2为所有在左半平面内解析且范数有界的函数的集合。由 Liouville定理,在某区域内解析的 函数的极大值只可能在g的边界上取得。于是对于f(s)∈ I l2 f (o+ ju)f(o+ jw)de➑ ➒ ➓❱➔✹→↔➣✆↕➙➛➜➝✦➞✣➟✑➠✌➡✑➢✄➤✁➥✑➦ ➧❑➨ ➩❥➫ ➭✙➯❥➲✁➳✑➵★➸❝➺✌➻✹➼✌➽✑➾❱➚✑➪✄➶ ➹ ➩ ➹ ➘✫➴➬➷➮✕➱✃ ➱ ➩✶❐ ❒ ❮ ❰ ➩❥❒ ❮ ❰ Ï❥❮ Ð✙Ñ Ò ➘ Ó✄Ô✄Õ✄Ö×➩✫❒ ❮ ❰✫Ø✄Ù✑Ú✑Û✌➻✣ÜÞÝ✙ßà●ß á âãßåä✁æ❂ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✶Ó✄Ô✄ê✄ë✌Ù✑Ú✄Û✄ë❱ì✄Ø✑Õ✁Ö×➩✆❒ ❮ ❰ í●î ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ➴✌ï ➩❂ð ➹ ➩ ➹ ➘✆ñ éóò ❒ ô õ ö ❰ ÷ ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰❥ù❢ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✆ú✑Ø✑ê✁ë✁û❱ü✁➽✌æ✕ý✁þ✁ÿ✁￾✌ù✁✂✌Ø☎✄✑➶✌Ø✁✆✁✝✟✞✡✠✁☛Þç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰✶➲❑ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ þ✌Ø✑➳✑➵✌☞✡✍✌ä✌æ✎✞✡✏✁✑☎✒☎✓❢ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰✦ù ï ➩✶❒ ❮ ❰✦ð ➩❥❒ ❮ ❰ ➴☎✔ ➫ ✕❮✗✖✑ø ò õ✙✘✑➲ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ➴ ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ ✚ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰ ✛✁✜✁✢✟✞✡✣✎✤✁➳✑➵❑➩✎✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✧✦☎★✎✩✁✪✁ù ➩ ➴ ➩✧✫✬✚↔➩✧✭ ✫✯✮✁✰❭➩✧✫✗✥▲ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ ➫ ➩✱✭ ✫✲✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰ ➩✧✫✴✳✶✵×➩✕Ø☎✷✡✸×❒ ✹✺ãá✺✻ ❰✙✼✁✩✟✞❢➩✙✭ ✫✽✳✶✵×➩✕Ø✿✾✌✷✡✸×❒ ✺❀❁ ❂ ❃ ✹✺ãá✺✻ ❰❄✼✁✩✌➻❅✮✁❆❇✳✶❈✌Ø✎❉✌✷✕➲☎❊✟❋✄Ø✁➽✄ä û✌➽✁æ✣ý✄þ✄➲✌✷✿✸✌Ø✁➻ ● ❍✧■ ❏✱■ ❑▼▲✁◆✁❖✁P ❒ ô õ ö ❰✬◗✁❘❇❙✿✞✄ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✦ú✕Ø✕Õ✄Ö×➩✦❒ ❮ ❰✧✦✄➲✁❚✁❯☎★✑➺✌Ø✄➻✗❱✁❲✄➺✁✩✁❳✁❨✁❩✁❬☎★✎❭×➩✆❒ ❮ ❰❄✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ❪✁❫❵❴❛ã❜ ❂ ß ❜❄❳✁❨ ❝ ➩❥❒ ❞✧❡✦❰ ➴ ➮➱ ✃ ➱ ➩❥❒ ❮ ❰ ❢ ✃ ❣ ❤ ✐ Ï❥❮ ❒ ô õ ô ❰ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰✦➲×➩❥❒ ❮ ❰✦û☎❦☎❧★ú✑Ø✑Ó☎♠❱➻ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰❄♥✟★✁♦☎♣✁➲ ❝ ➩❥❒ q ❰srtq ➴ ❞✧❡✁➽✁Ø✑ÿ☎￾✌✞✶✮☎✰ ❝ ➩❥❒ q ❰✫➲×➩❥❒ ❮ ❰✆Ø✎✉☎✈ ❒ ✇✙❂ ✻✺❁ ß ❜✺✻ ❰ Ý✬✺①✻✺✹ ß✲❳☎❨❱➻✡✠✁☛✌✞✶②☎③✟④✁⑤✟⑥☎⑦✌Ø✁⑧✁❈☎⑨☎⑩✄Û☎❶✌✞✹ê✄ë❱Ø✎❦☎❧✄Õ✁Ö✌✞✕î ❝ ➩❥❒ q ❰ ➴ ç ï ➩❥❒ ❮ ❰ ò í ♥ ❷✁❸✁➳✑➵☎❹✎❺✌ä✌æ✑➻✟❻➬Ý✬✺①✻✺✹ ß✽❳✁❨✌Ø✎❹✎❺✟✞✡★☎❼ ❒ ➩❾❽✕➭✙❰ ❒ ❮ ❰➀❿✴➁ ❒ ❝ ➩➂❽ ❝ ➭✲❰ ❒ q ❰●➫ ❒ ➃✦➩✶❰ ❒ ❮ ❰➀❿✴➁➄➃ ❝ ➩❥❒ q ❰✱➅ Ü ❝ ➆ Ó✄Ô✁✮✄➵☎❹✎❺❱ä✁æ✁✞✡✘✄➲ ❝ ➆ ➴✌ï ❝ ➩✹ð➈➇➂➉è✱➁➊➇✱➋✙ò✙➅ ❊☎❋✑Ü❢ç ➘ Ó✄Ô✄ê✄ë✄û☎➌✄ý✄þ☎❚✁❯✟★✑➺❱Ø✿➍☎❳✌✄✕➶ ❝ ➩❥❒ q ❰✆Ø✎✆✎✝✟✞✕î ç ➘ ➴❇➎ ❝ ➩❥❒ q ❰✄ð➐➏ ➒ ➑ ➮✑➱✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ❞❥❡✦❰ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰ Ï❡ ñ é➊➒✎➅ ❒ ô õ ➓ ❰ û×ç ➘ þ☎➔✁⑥✛➸❝➺ ➨ ❝ ➩✦➫ ❝ ➭●➯✦ð ➴ ➏ ➒ ➑ ➮➱ ✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ❞✧❡✦❰ ❝ ➭✶❒ ❞❥❡✦❰ Ï✙❡▲➫ ❒ ô õ ➑ ❰ ➧✄➾❱➚✕➪✑➶ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✦➴✌→➨ ❝ ➩❥➫ ❝ ➩✶➯ õs❻↔➣✧✺❜ á ß↕✺✻✧➙✎➛✁◗❦➨ ❝ ➩✫➫ ❝ ➭●➯ ➴ ➨ ➩❥➫ ➭✙➯❄★✎➜ ➹ ➩ ➹ ➘✫➴❱➹ ❝ ➩ ➹ ➘ õ ❭☎✘❭➩✦❒ ❮ ❰❄✥▲ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ í ✛✁✜✌Ø ❝ ➩✦❒ q ❰❥û✁➝✁➞✁❚☎➟✛➸❅✪☎➠❱➻✹ê✄ë✁û✁➝☎➞✁❚✟➟✛➸✶✪☎➠✁➡☎➢☎➤✁➥✁➦ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✆ñ é Ø☎✄✑➶✟➔☎⑥✌➧✻ç ➘ Ø✄➳✄➵☎✍❱ä✌æ✁✞ ÷ùt➨➘ õ✲❴❛ã❜ ❂ ß ❜❄❳☎❨☎➩☎➫❇➧Þç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰✙⑨➐➨➘s➭ æ✄Ø✟➯✿❷☎➲✌➳✁➻↔➨➘ Ø ✑✁✒☎✓✁ä✁æ÷ù↔➨ ➘➵ í ➧t➨➘➵✡➸ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰✗➯✡❷✌➻✡✘✑➲ ç ➘ ➴ ➨➘ ✚➨➘➵ ✠✎☛✟✞➺➨➘➵ ù✑ê✄ë✄û✁➻✁➞✁❚✟➟✛➸✶✪✁➠☎➡✌➪✑➶✁ë✁➼❱Ø✁✄✑➶✌Ø✁✆✁✝✌➻☎❻➬Ý✬❂ ❛ã↕❂ ✻ ✻ ß✽➔✎❩✟✞✹û✁➽✌➾✡❧❵➚ó➸❅✪✁➠✌Ø ✄✕➶✌Ø✿➪✁➶✁￾✟➹✁★✄Ú✄û❵➚✛Ø✿✈✁➼✄þ✄ÿ✁➜✌➻✡✘✄➲✁❭✟✘ ❝ ➩❥❒ q ❰❄✥➂➨➘ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✫➴ ➷áã① ➘ ➴✱➷ ➏ ➒ ➑ ➮✕➱✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ➬➮❽✡❞❡✦❰ ❝ ➩✦❒ ➬➮❽✡❞❡✦❰ Ï✙❡✶Ð✲Ñ Ò ➘