第4期 吴垠，等：一种基于模糊方法的领导-跟随型多机器人编队控制 .537. [e,e.]=[l4-L,9a-p]。在编队运动过程，若 等号成立。则系统渐近稳定。证毕。 能始终保持每个跟随者与领导者之间的相对距离L 该编队算法实现过程较为简便且思路清晰，易 和角度p均收敛到给定值(l4,P),即满足 于接受。通过改变期望距离L和角度P:的值，可以 lim(e,)=0,lim(e.）=0 完成任意编队队形要求，具有较好的灵活性。由于 即可达到编队控制目标。 在编队运动的过程中，所有跟随者都只与领导者进 设计闭环控制律： 行通信，因此在编队运动过程中随时加入新的跟随 v=Pasiny -p cosy (8) 者，不会对现有队形产生影响，且对跟随者的数量没 1 有限制，体现该算法良好的扩展性。 w,=dp:siny+p,eosy） (9) 同时也注意到，在计算跟随者的控制律时，其控 其中 制律高度依赖于领导者模型。在通信过程中由于噪 p=dwzsing vzcosop a (la-) (10) 声干扰或通信延迟等因素影响，一旦领导者的位姿 P2 vzsing dwzcoso-al(oa-)-lw2 信息不能准确地被跟随者获取时，跟随者便立即无 (11) 法完成与领导者的编队协同控制。因此，这就要求 则有下面的结论。 领导者在通信传输方面具有较高的精度及较强的稳 定理1对于任意给定参数满足a1、α>0，若 定性。 跟随机器人的控制律采用式(8)和(9)，则有1im 3仿真研究 (e,)=0和lim(e.)=0同时成立，即多机器人系统可 以实现稳定的编队。 3.1基于MATLAB的数值仿真 为了验证该算法的有效性，采用MATLAB软件 证明构造李雅普诺夫函数V= 对 进行对多机器人系统进行数字仿真测试。领导者给 求导并代入运动学方程(4)和(5)，得 定路径分别选取为直线y=0,y=x和圆x2+y2= 4。领导者与跟随者初始位置信息随机给定。2个 V=erer +eee= 跟随者编队期望距离和角度(1，p)分别为(1.5， (1-1)1-(-)= 90°)，(1.5，-90)，即跟随者分别位于领导者的两 -(-1)(v cosy dw siny -vcoso dwzsing)- 侧并与领导者保持1.5m的距离。 图8~10为多机器人的运动轨迹。从图中可以 ()(vsing-d cosy- 看出，开始时每个智能体的起始位置随机分布，由编 v sing dw,cosop -lw2) 队控制算法对每个智能体加以控制。从图中可以看 将控制律式(8)和(9)代入： 出经过一段时间后每个智能体均逐步达到了各自期 i=-(1)(p:simycosy -Prcos'y-dsinysiny 1 望的位置并同时保持期望的队形运动。 智能体编队运动轨迹 p,cosy）-t,cosp+dl,sing）-(pa-p）(v.sing- 2.0r GivenPath Leader 1.5 Followerl 1 1.0 Followey Pasin+p,sin ycosy-dcosysin 0.5 P2 cos T)+dwzcoso -lw2)= -((-p-v2coso dwzsing)- -0.5 1 -1.0h (e:-p）7(,sinp-p+de;cos-h,） -1.5 将式(10)、(11)代入并进一步整理可得 -2.04 -2 0 2468101214 x/m V=-a,(4-l)2-a2(pa-p)2= 图8领导者给定路径为直线y=0时的编队运动轨迹 -aei-aze Fig.8 Formation trajectory when the given path of leader is the straight liney =0 由a1、a2>0可知，V≤0当且仅当e1=0、e。=0时［ｅｌ，ｅφ］ Ｔ ＝ ［ｌ ｄ － ｌ，φｄ － φ］ Ｔ 。 在编队运动过程，若 能始终保持每个跟随者与领导者之间的相对距离 ｌ 和角度 φ 均收敛到给定值 （ｌ ｄ ，φｄ ） ，即满足 ｌｉｍ ｔ→¥ （ｅｌ） ＝ ０，ｌｉｍ ｔ→¥ （ｅφ） ＝ ０ 即可达到编队控制目标。 设计闭环控制律： ｖ１ ＝ ρ２ ｓｉｎγ － ρ１ ｃｏｓγ （８） ｗ１ ＝ １ ｄ （ρ１ ｓｉｎγ ＋ ρ２ ｃｏｓγ） （９） 其中 ρ１ ＝ ｄｗ２ ｓｉｎφ － ｖ２ ｃｏｓφ － α１（ｌ ｄ － ｌ） （１０） ρ２ ＝ ｖ２ ｓｉｎφ ＋ ｄｗ２ ｃｏｓφ － α２ ｌ（φｄ － φ） － ｌｗ２ （１１） 则有下面的结论。 定理 １ 对于任意给定参数满足 α１ 、α２ ＞ ０，若 跟随机器人的控制律采用式（８） 和（９），则有 ｌｉｍ ｔ→¥ （ｅｌ） ＝ ０ 和 ｌｉｍ ｔ→¥ （ｅφ）＝ ０ 同时成立，即多机器人系统可 以实现稳定的编队。 证明 构造李雅普诺夫函数 Ｖ ＝ １ ２ ｅ ２ ｌ ＋ １ ２ ｅ ２ φ ，对 ｖ 求导并代入运动学方程（４）和（５），得 Ｖ · ＝ ｅｌ ｅ · ｌ ＋ ｅφ ｅ · φ ＝ － （ｌ ｄ － ｌ）ｌ · － （φｄ － φ）φ · ＝ － （ｌ ｄ － ｌ）（ｖ１ ｃｏｓγ － ｄｗ１ ｓｉｎγ － ｖ２ ｃｏｓφ ＋ ｄｗ２ ｓｉｎφ） － （φｄ － φ） １ ｌ （ｖ２ ｓｉｎφ － ｄｗ１ ｃｏｓ γ － ｖ１ ｓｉｎφ ＋ ｄｗ２ ｃｏｓφ － ｌｗ２ ） 将控制律式（８）和（９）代入： Ｖ · ＝ － （ｌ ｄ － ｌ）（ρ２ ｓｉｎγｃｏｓγ － ρ１ ｃｏｓ ２ γ － ｄｓｉｎγ １ ｄ （ρ１ ｓｉｎγ ＋ ρ２ ｃｏｓγ） － ｖ２ ｃｏｓ φ ＋ ｄｗ２ ｓｉｎφ） － （φｄ － φ） １ ｌ （ｖ２ ｓｉｎφ － ρ２ ｓｉｎ ２ γ ＋ ρ１ ｓｉｎ γｃｏｓ γ － ｄｃｏｓγ １ ｄ （ρ１ ｓｉｎγ ＋ ρ２ ｃｏｓ Τ） ＋ ｄｗ２ ｃｏｓφ － ｌｗ２ ） ＝ － （ｌ ｄ － ｌ）（ － ρ１ － ｖ２ ｃｏｓφ ＋ ｄｗ２ ｓｉｎφ） － （φｄ － φ） １ ｌ （ｖ２ ｓｉｎ φ － ρ２ ＋ ｄｗ２ ｃｏｓ φ － ｌｗ２ ） 将式（１０）、（１１）代入并进一步整理可得 Ｖ · ＝ － α１（ｌ ｄ － ｌ） ２ － α２（φｄ － φ） ２ ＝ － α１ ｅ ２ ｌ － α２ ｅ ２ φ ｘ 由 α１ 、α２ ＞ ０ 可知， Ｖ · ≤ ０ 当且仅当 ｅｌ ＝ ０、ｅφ ＝ ０ 时 等号成立。 则系统渐近稳定。 证毕。 该编队算法实现过程较为简便且思路清晰，易 于接受。 通过改变期望距离 ｌ ｄ 和角度 φｄ 的值，可以 完成任意编队队形要求，具有较好的灵活性。 由于 在编队运动的过程中，所有跟随者都只与领导者进 行通信，因此在编队运动过程中随时加入新的跟随 者，不会对现有队形产生影响，且对跟随者的数量没 有限制，体现该算法良好的扩展性。 同时也注意到，在计算跟随者的控制律时，其控 制律高度依赖于领导者模型。 在通信过程中由于噪 声干扰或通信延迟等因素影响，一旦领导者的位姿 信息不能准确地被跟随者获取时，跟随者便立即无 法完成与领导者的编队协同控制。 因此，这就要求 领导者在通信传输方面具有较高的精度及较强的稳 定性。 ３ 仿真研究 ３．１ 基于 ＭＡＴＬＡＢ 的数值仿真 为了验证该算法的有效性，采用 ＭＡＴＬＡＢ 软件 进行对多机器人系统进行数字仿真测试。 领导者给 定路径分别选取为直线 ｙ ＝ ０， ｙ ＝ ｘ 和圆 ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ４。 领导者与跟随者初始位置信息随机给定。 ２ 个 跟随者编队期望距离和角度（ ｌ ， φ ） 分别为（１．５， ９０°），（１．５，－９０°），即跟随者分别位于领导者的两 侧并与领导者保持 １．５ ｍ 的距离。 图 ８～１０ 为多机器人的运动轨迹。 从图中可以 看出，开始时每个智能体的起始位置随机分布，由编 队控制算法对每个智能体加以控制。 从图中可以看 出经过一段时间后每个智能体均逐步达到了各自期 望的位置并同时保持期望的队形运动。 图 ８ 领导者给定路径为直线 ｙ ＝ ０ 时的编队运动轨迹 Ｆｉｇ． ８ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｐａｔｈ ｏｆ ｌｅａｄｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅ ｙ ＝ ０ 第 ４ 期 吴垠，等：一种基于模糊方法的领导－跟随型多机器人编队控制 ·５３７·