复旦学报(自然科学版) 第52卷 0 P150 r150 6420 图3圆柱以及椭圆柱(长短轴比为1.5)表面引入行波以消除涡街发展:(左图)涡量分布, (右图)流函数分布.Re=400 Fig 3 Suppression of vortex street by traveling wave generated on the surfaces of circular and elliptical cylinders (the ratio of the long and short axes is 1. 5):(left subplot) vorticity distribution, (right subplot)stream function distribution, Re=400 2几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 2.1研究背景 考虑星体表面的大气运动,海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘等,流动的法向尺度 (流层厚度)远远小于流动的展向(流向)尺度.由此,可将此类流动模型化为几何形态为曲面的连续介质的 流动.由于三维空间中的曲面为双参数向量值映照,故上述流动又可称为二维流动( two dimension flows).目前,业内对二维流动的研究多限于平面形态的皂膜流动{,然而真正的代表性的二维流动应为 几何形态为一般曲面的流动,其典型形式可为固定曲面上的二维流动,或自身运动曲面上的二维流动(如 细胞膜等流体膜上的流动) Aris(1964)[21研究了曲面上的流动,包括运动刻画,质量守恒以及动量守恒等微分学控制方程,但其 就质量守恒等的分析结果有误[23,且关于运动刻画并未具有一般有限变形理论的系统性论述 2.2有限变形理论 几何形态为曲面的有限变形理论,其运动学与几何学仍可以参照一般有限变形理论,定义初始、当前 物理构型及其对应的初始、当前曲线坐标系,此处曲线坐标系在曲面的参数域中定义,实际也为曲面作为 流形的局部参数化(对应微分流形中的坐标卡);按微分学概念引入变形梯度并获得其基本性质;基于变形 梯度获得变形的4类刻画;基于变形刻画获得所有形式的输运方程[.动力学方面,主要基于我们发展的 内蕴形式第二类广义 Stokes公式l2)获得质量、动量、动量矩以及能量守恒等守恒律微分方程.内蕴形式 第二类广义 Stokes公式提供了将沿切平面并正交于边界曲线切向量方向作用的张量场转化至边界曲线 所围的曲面上积分的一般方法,如图4所示 (×)°-重=(。-更+H(-)d 此处φ为定义在曲面上的任意张量场,H:=b=gb为平均曲率,g=(g1,g)2(x)为曲面第一基本 量,4=(82(x3),n),为曲面第二基本量,(x2)为曲面自身诱导的局部协变基;一代表任意合法的张 量代数运算 C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net图３ 圆柱以及椭圆柱（长短轴比为１．５）表面引入行波以消除涡街发展：（左图）涡量分布， （右图）流函数分布．Ｒｅ＝４００． Ｆｉｇ．３ Ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｖｏｒｔｅｘｓｔｒｅｅｔｂｙｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｏｎｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｓｏｆｃｉｒｃｕｌａｒａｎｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｃｙｌｉｎｄｅｒｓ （ｔｈｅｒａｔｉｏｏｆｔｈｅｌｏｎｇａｎｄｓｈｏｒｔａｘｅｓｉｓ１．５）：（ｌｅｆｔｓｕｂｐｌｏｔ）ｖｏｒｔｉｃｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，（ｒｉｇｈｔｓｕｂｐｌｏｔ）ｓｔｒｅａｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｒｅ＝４００． ２ 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 ２．１ 研究背景 考虑星体表面的大气运动，海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘等，流动的法向尺度 （流层厚度）远远小于流动的展向（流向）尺度．由此，可将此类流动模型化为几何形态为曲面的连续介质的 流动．由于三维空间中的曲面为双参数向量值映照，故 上 述 流 动 又 可 称 为 二 维 流 动 （ｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｌｏｗｓ）．目前，业内对二维流动的研究多限于平面形态的皂膜流动［２０］，然而真正的代表性的二维流动应为 几何形态为一般曲面的流动，其典型形式可为固定曲面上的二维流动，或自身运动曲面上的二维流动（如 细胞膜等流体膜上的流动）． Ａｒｉｓ（１９６４）［２１］研究了曲面上的流动，包括运动刻画，质量守恒以及动量守恒等微分学控制方程，但其 就质量守恒等的分析结果有误［２２］，且关于运动刻画并未具有一般有限变形理论的系统性论述． ２．２ 有限变形理论 几何形态为曲面的有限变形理论，其运动学与几何学仍可以参照一般有限变形理论，定义初始、当前 物理构型及其对应的初始、当前曲线坐标系，此处曲线坐标系在曲面的参数域中定义，实际也为曲面作为 流形的局部参数化（对应微分流形中的坐标卡）；按微分学概念引入变形梯度并获得其基本性质；基于变形 梯度获得变形的４类刻画；基于变形刻画获得所有形式的输运方程［１８］ ．动力学方面，主要基于我们发展的 内蕴形式第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式［１８，２２］获得质量、动量、动量矩以及能量守恒等守恒律微分方程．内蕴形式 第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式提供了将沿切平面并正交于边界曲线切向量方向作用的张量场转化至边界曲线 所围的曲面上积分的一般方法，如图４所示． ∮Σ ｔ （ ） τ珒×ｎ珗°－Φ ＝∫Σ ｔ （Σ Δ °－Φ＋Ｈ（ｎ珗°－Φ））ｄσ． 此处Φ 为定义在曲面上的任意张量场，Ｈ∶＝ｂｓ ｓ＝ｇｓｔｂｔｓ为平均曲率，ｇｉｊ＝（ｇ珝ｉ，ｇ珝ｊ）瓗３ （ｘΣ）为曲面第一基本 量，ｂｉｊ＝ 珗ｇｊ ｘｉ Σ （ ） （ｘΣ），ｎ 瓗３ 为曲面第二基本量，ｇ珝ｊ（ｘΣ）为曲面自身诱导的局部协变基；°－代表任意合法的张 量代数运算． ０５５ 复 旦 学 报（自然科学版） 第５２卷