第4期 谢锡麟等:有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 549 按上述映照及张量分析观点,所得控制方程的分量形式有如下特点:①分量形式为建立在参数区域 上的偏微分方程( Partial Differential Equations,PDE),计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随 时间变化,由此大大简化了差分格式等构造上的复杂性;②现分量方程较之直角坐标系的分量方程,可能 引入混合偏导数项、度量张量分量、 Christoffel符号等而显得更为复杂,但并不引入更高阶导数项,需指出 方程中显含的度量张量分量、 Christoffel符号等直接由曲线坐标系确定,事先就可获得解析表达式或通过 数值方法确定;③在壁面上,物理量按相对于反映曲面几何性质的局部基展开,往往便于边界条件的 处理 国际上较早基于张量分析获得一般曲线坐标系下的流动控制方程(物理量基于局部基展开)并进 行数值研究的理论成果包括国际著名透平机械专家吴仲华先生首创的关于S1及S2流面的研究;李 开泰、黄艾香在张量分析及其应用方面的较为系统的研究[15,他们的研究主要应用于旋转机械叶片附 近的流动.这些研究一般仅涉及静止或刚性的曲面壁面而未涉及壁面的有限变形运动,而我们将当前 物理构型对应的曲线坐标系(微分同胚)推广到显含时间情形,籍此可获得既“规则”又“固定”的参数区 域并基于张量分析获得其上的控制方程.谢锡麟(2012)16叙述了现代张量分析在连续介质力学中的 若干应用 1.3有限变形理论 我们按照郭仲衡所述的有限变形理论[,平行发展了当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形理论[.有限变形理论的基本内容,可以依次归结为4部分:(1)物理构型及参数构型构造; (2)变形梯度及其基本性质;(3)变形刻画及输运定理(包括:①初始物理构型以及当前物理构型中有向 线元、面元以及体元之间的关系;②初始物理构型以及当前物理构型中有向线元、面元以及体元模之间的 关系;③当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其自身之间的关系;④当前物理构型中 有向线元、面元以及体元模的物质导数同其自身之间的关系),基于关系式③、④易于获得最一般的第二类 以及第一类线、面、体的输运定理;(4)守恒律控制方程 需指出,当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论同一般理论的主要差别在于速度 以及物质导数的表达式: △(,D)=X(x,)x X (,t)g:(x,t)+(x,t) a x (x,1)=9x 相对于一般情形,速度表达式出现增加项:a(x,D) ),(x,)=()(x,)(x,),完全 源于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间.进一步,对任意张量场的物质导数,有 9()D(x,)+8(,)(,)=(x,)+·-(x,D)·V②虫 相对于一般形式,增加了项一(x,1)·8,8小=()②单会②(x,1代表相对于 Euclid坐 标的全梯度算子对于变形梯度FA∞x(,1)g,(x,n)⑧G(),其基本意义及基本性质保持不变,即有: 正=((x,D)·F=:1L·F,adtF=tF,此处 det F4vgdet(en),0:=.(x,).由 d 此,变形刻画所有关系式同一般理论;当保留物质导数的整体形式,输运定理所有关系式同一般理论.需指 出,现研究的连续介质的几何形态仍为 Euclid流形,故在张量场分析上并无差异 1.4应用事例 近期我们基于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论发展了对应显含时间曲线坐 标系的流函数-涡量解法[81.对已有报道的通过在圆柱边界上引入行波可消除涡街的研究[1,我们利用 现有方法实现了相关结果,并将相关效果推广至椭圆柱绕流,如图3(见第550页)所示 C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net按上述映照及张量分析观点，所得控制方程的分量形式有如下特点：① 分量形式为建立在参数区域 上的偏微分方程（ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰＤＥ），计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随 时间变化，由此大大简化了差分格式等构造上的复杂性；② 现分量方程较之直角坐标系的分量方程，可能 引入混合偏导数项、度量张量分量、Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号等而显得更为复杂，但并不引入更高阶导数项，需指出 方程中显含的度量张量分量、Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号等直接由曲线坐标系确定，事先就可获得解析表达式或通过 数值方法确定；③ 在 壁 面 上，物理量按相对于反映曲面几何性质的局部基展开，往 往 便 于 边 界 条 件 的 处理． 国际上较早基于张量分析获得一 般 曲 线 坐 标 系 下 的 流 动 控 制 方 程（物 理 量 基 于 局 部 基 展 开）并 进 行数值研究的理论成果包括国际著名透平机械专家吴仲华先生首创的关于Ｓ１及Ｓ２流面的研究［１４］；李 开泰、黄艾香在张量分析及其应用方面的较为系统 的 研 究［１５］，他们的研究主要应用于旋转机械叶片附 近的流动．这些研究一般仅涉及静止或刚性的曲面壁面而未涉及壁面的有限变形运动，而 我 们 将 当 前 物理构型对应的曲线坐标系（微分同胚）推广到显含时间情形，籍此可获得既“规 则”又“固 定”的 参 数 区 域并基于张量分析获得其上的控制方程．谢 锡 麟（２０１２）［１６］叙 述 了 现 代 张 量 分 析 在 连 续 介 质 力 学 中 的 若干应用． １．３ 有限变形理论 我们按照郭仲衡所述的有限变形理论［１７］，平行发展了当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形 理 论［１８］ ．有 限 变 形 理 论 的 基 本 内 容，可 以 依 次 归 结 为 ４ 部 分：（１）物 理 构 型 及 参 数 构 型 构 造； （２）变形梯度及其基本性质；（３）变形刻画及输运定理（包括：① 初始物理构型以及当前物理构型中有向 线元、面元以及体元之间的关系；② 初始物理构型以及当前物理构型中有向线元、面元以及体元模之间的 关系；③ 当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其自身之间的关系；④ 当前物理构型中 有向线元、面元以及体元模的物质导数同其自身之间的关系），基于关系式③、④易于获得最一般的第二类 以及第一类线、面、体的输运定理；（４）守恒律控制方程． 需指出，当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论同一般理论的主要差别在于速度 以及物质导数的表达式： Ｖ珝  Ｘ珤 ｔ （ξ，ｔ）＝ Ｘ珤 ｘｉ（ｘ，ｔ）ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）＋Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）＝ ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ）＋Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）． 相对于一般情形，速度表达式出现增加项：Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）＝ Ｘ珤 ｔ（ ） ，ｇ珝ｉ 瓗３ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ）＝ Ｘ珤 （ ） ｔ ｉ （ｘ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ），完全 源于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间．进一步，对任意张量场的物质导数，有： Φ   Φ ｔ （ξ，ｔ）＝ Φ ｔ （ｘ，ｔ）＋Φ ｘｉ（ｘ，ｔ）ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）＝ Φ ｔ （ｘ，ｔ）＋Ｖ珝· Δ Φ－Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）· Δ Φ． 相对于一般形式，增加了项－Ｘ ｔ （ｘ，ｔ）· Δ Φ， Δ Φ＝ ｇ珗ｌ  （ ） ｘｌ Φｇ珗ｌ Φ ｘｌ（ｘ，ｔ）代表Φ 相对于 Ｅｕｃｌｉｄ坐 标的全梯度算子．对于变形梯度 Ｆｘｉ ξ Ａ （ξ，ｔ）ｇｉ（ｘ，ｔ）ＧＡ （ξ），其基本意义及基本性质保持不变，即 有： ｄＦ ｄｔ＝ Ｖ珝 Δ （ ） （ｘ，ｔ） ·Ｆ＝∶Ｌ·Ｆ，ｄ ｄｔ ｄｅｔＦ＝θｄｅｔＦ，此处ｄｅｔＦ 槡ｇ 槡Ｇ ｄｅｔ ｘｉ ξ（ ） Ａ（ξ，ｔ） ，θ∶＝Ｖ珝· Δ （ｘ，ｔ）．由 此，变形刻画所有关系式同一般理论；当保留物质导数的整体形式，输运定理所有关系式同一般理论．需指 出，现研究的连续介质的几何形态仍为 Ｅｕｃｌｉｄ流形，故在张量场分析上并无差异． １．４ 应用事例 近期我们基于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论发展了对应显含时间曲线坐 标系的流函数 涡量解法［１８，１９］ ．对已有报道的通过在圆柱边界上引入行波可消除涡街的研究［１３］，我们利用 现有方法实现了相关结果，并将相关效果推广至椭圆柱绕流，如图３（见第５５０页）所示． 第４期 谢锡麟等：有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 ９４５