证明1°容易知道当x=0或y=0时,(x,y)=0,此时(1)中等式成立.现在设y≠0 对于任意的A∈④, 0s(x+Ay, x+Ay)=(r,x)+2Re i(x,y)+a(,y) 取x=-(xx),代入得 0≤(x (y,y)(y,y)(y,y) ((x,x)(v,y)-(x,y) 从而 (x,y)≤√x)√y,y)=xⅢy 2°由定义7(4)知‖x|≥0.若‖xl=0,即(x,x)=0,从而x=0.又由定义7(2) ax|=√ax,ax)=√aP(x,x)=alx 由上面1°的证明知道 Ix+yl=(x+y,x+y =(x,x)+2Re(x,y)+(y,y) ≤(x,x)+2(x,y)+(y,y) ≤‖x+2|x‖ly+yl =(xl+y|)2. 所以‖x+ys‖x‖+‖y‖,‖是X上的范数 定理7说明任一内积空间是线性赋范空间.以 lx|√(x,x) 定义的X上的范数称为由内积诱导的范数.不难验证内积(x,y)关于两变元是连续的.即若 xn→x,y→y,则 (xn,y)→(x,y) 定理8赋范空间(X,‖·是内积空间当且仅当平行四边形公式成立 x+y+‖x-y|=2(x‖+‖yl),vx,y∈x 证明先证必要性.若X是内积空间,x,y∈X,则 ‖x+y‖=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) x-y|=(x-y,x-y)=(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y) 相加即得证明 1°容易知道当 x = 0 或 y = 0 时，(x, y) = 0 ，此时（1）中等式成立．现在设 y ≠ 0 ， 对于任意的λ ∈Φ ， 0 ( , ) ( , ) 2Re ( , ) ( , ) 2 ≤ x + λy x + λy = x x + λ x y + λ y y ． 取 ( , ) ( , ) y y x x λ = − ，代入得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 2 2 2 y y x y y y x y ≤ x x − + (( , )( , ) ( , ) ) ( , ) 1 2 x x y y x y y y = − ． 从而 (x, y) ≤ (x, x) ( y, y) =|| x || || y || ． 2°由定义 7（4）知|| x ||≥ 0 ．若|| x ||= 0 ，即(x, x) = 0 ，从而 x = 0 ．又由定义 7（2）， || || ( , ) | | ( , ) | | || || 2 αx = αx αx = α x x = α x ． 由上面 1°的证明知道 || || ( , ) 2 x + y = x + y x + y = (x, x) + 2Re(x, y) + ( y, y) ≤ (x, x) + 2 (x, y) + ( y, y) 2 2 ≤+ + || || 2 || || || || || || x xy y 2 = (|| x || + || y ||) ． 所以|| || || || || || x +≤ + yxy ，|| ⋅|| 是 X 上的范数． 定理 7 说明任一内积空间是线性赋范空间．以 || x ||= (x, x) 定义的 X 上的范数称为由内积诱导的范数．不难验证内积(x, y) 关于两变元是连续的．即若 x x n → ， y y n → ，则 (x , y ) (x, y) n n → ． 定理 8 赋范空间(X ,|| ⋅||) 是内积空间当且仅当平行四边形公式成立 || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 x + y + x − y = x + y ，∀x, y ∈ X ． （9） 证明 先证必要性．若 X 是内积空间， x, y ∈ X ，则 || || ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 x + y = x + y x + y = x x + x y + y x + y y || || ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 x − y = x − y x − y = x x − x y − y x + y y 相加即得