乎出现以下两种情况 (1)对某个,(x-1,x)c(a,b,) (2)对某个j,(x-1,x)C(y-h,y)或(x 于是我们有 0≤f(b)-f(a)s∑|(x)-f(x) ≤∑(x)-fx-)+∑(x)-f(x +Ex-x-|≤E+(b-a) 其中∑表示对出现情况(1)的(x,x)求和,∑2表示对出现情况(2)的(x1,x)求和 由E>0的任意性得到∫(a)=∫(b).对任意x∈[a,b,用[a,x]代替[a,b],同样可以得 到∫(x)=f(a).因此∫在[a,b上恒为常数■ 定理7(微积分基本定理)设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼兹 公式 f(x)-f(a) ∫(t)dt,x∈[a,b 的充要条件是∫(x)是绝对连续函数 证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设∫(x)是绝对连续的.由推论3,∫在 a,b]上几乎处处可导,并且∫"是 Lebesgue可积的.令 p(x)=f(x)/(odt,xela,bl (4) 由定理5知道,在[a,b]上φ(x)=0ae.根据定理6,(x)在[a,b]使恒为常数.因此 qp(x)=(a)=f(a).代入(4)即得(2) 推论8(分部积分公式)设∫,g是[a,b]上的绝对连续函数.则成立 ∫,=8-,gh 证明容易知道是[a,b]上的绝对连续函数.利用定理7,我们有 (b8-(0)(0J(0k)=+广g/h 由此即得(5).推论证毕 小结由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue积分.这使 得 Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证 习题习题五,第15题一第30题 147147 乎出现以下两种情况: (1). 对某个 j, ( , ) ( , ). i 1 i a j bj x − x ⊂ (2). 对某个 j, ( , ) ( , ) i 1 i j j j x x ⊂ y − h y − 或( , ) ( , ) i 1 i j j hj x − x ⊂ y y + . 于是我们有 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 1 (2) 1 (1) 1 1 1 x x b a f x f x f x f x f b f a f x f x i i i i i i n i i i < + − ≤ + − ≤ − + − ≤ − ≤ − ∑ ∑ ∑ ∑ − − − = − ε ε ε ε 其中 ∑ (1) 表示对出现情况(1)的( , ) i 1 i x x − 求和, ∑ (2) 表示对出现情况(2)的( , ) i 1 i x x − 求和. 由ε > 0 的任意性得到 f (a) = f (b). 对任意 x ∈[a, b], 用[a, x]代替[a,b], 同样可以得 到 f (x) = f (a).因此 f 在[a,b]上恒为常数.■ 定理 7 (微积分基本定理)设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼兹 公式 ( ) ( ) () , [ , ] x a f x f a f t dt x a b −= ∈ ′ ∫ (2) 的充要条件是 f (x) 是绝对连续函数. 证明 由例 1 即知必要性成立. 往证充分性. 设 f (x) 是绝对连续的. 由推论 3, f 在 [a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 令 ( ) ( ) () , x a ϕ x = − f x f t dt ′ ∫ x ∈[a, b]. (4) 由定理 5 知道, 在[a,b]上ϕ′(x) = 0 a.e.. 根据定理 6, ϕ(x) 在[a,b]使恒为常数. 因此 ϕ(x) = ϕ(a) = f (a). 代入(4)即得(2).■ 推论 8 (分部积分公式)设 f , g 是[a,b]上的绝对连续函数. 则成立 . b b b a a a ∫ ∫ fg dx fg gf dx ′ ′ = − (5) 证明 容易知道 fg 是[a,b]上的绝对连续函数. 利用定理 7, 我们有 () () () () ( ) . b bb a aa f b g b f a g a fg dx fg dx g f dx − = =+ ′′ ′ ∫ ∫ ∫ 由此即得(5). 推论证毕. 小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue 积分. 这使 得 Lebesgue 积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证. 习 题 习题五, 第 15 题—第 30 题