510.2录网络最大流的标记算法 7 一条从s到t的增流链如果标记过程无法进行下去，而t尚未标记则表明不存在s到t 的增流能，于是得到最大流，同时也得到一个最小割 调整过程：这是用来增大流量的过程 根据顶点的第一个标记，“反向追踪”找出增流链Q.令调整量0是④)，即t点的第二 个标记。在增流链上的一切前向边上增加日，后向边上减少日，其它边的流量保持不变.这 样就得到新的可行流。对新的可行流重新转入标记过程当再也找不到新的增流链时，即 汇t得不到标记时，算法终止， 二、算法步骤 第一步：开始给源s标上(0，+)（括号中第一个数字，因S是源故记为0），这时S 是已标记而未检查的点，其余都是未标记点。按得到标记的先后顺序，取一个已标记而未 检查的点，对相邻的一切未标记的点 L.若在边(，)上，<c4,则给标记(，(》.这里1()=min[(),- f.这时顶点马成为已标记而未检查的点. 2.若在边(e,)上，：>0则给标记(-，l(y).这里l(y,)）=mim{l(,f. 这时顶点成为已标记而未检查的点 第二步：成为已标记已检在过的顶点，在标记下面划一横线。重复第一步，一旦汇 被标记表明得到一条从s到t的增流链Q,进行第三步，若所有被标记的顶点都已检查 过，而标记过程进行不下去时，则算法结束，这时的可行流就是最大流 第三步：按汇t及其它顶点的第一个标记，“反向追踪”找出增流Q,用双线画出。 令调整量0=1)，即汇t的第二个标记.令： +,当（，）是Q的前向边 f=了，-8，当（位，）是Q的后向边 其它 按新的可行流画出网络G,对新流（新G)重新进入标记过程。 例2.用标记法求图10-4所示网络的最大流，并找出最小割。边旁的数字是(c,), 图10-4 解（一、标记过程 (1).先给源S标上(0，+∞) (2).对S进行检查，从S点出发的边(s,)上，f1-c1-8故m1得不到标记 边(s,)上，f2<c,2,故2的标记为(+s,(2,其中，1(2)=mim{l(s,(c,2-,2} §10.2 ÷✁✔✓✖✁ø✁ù✁✘✑✗✓ú✁û✁ü✑ý 7 ✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓; ÷✁➙➐✖➑✖♣✁å✁þ✖●✭ ✆✁✹✖❧, ✷ t ❴ò✖➐✖➑, ✃✖➦ ➸❏✁❈✖⑩ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✲✰❧✖Ð✖✩✖➋✖✛, ④➘ ✯ ❧✖Ð✖✳✖②✖✩✖➌✖➈✖✜ ÿ✁￾è✁é: ❻✰❊❬➒✖➋✖✛✖➱✖✍✖♣✁å. ❾✧❿☞q☞r☞✍☞✢☞✳☞②☞➐☞➑,“➣❲➥✄✂✁☎” ✂❩ ➒☞✛✧➓ Q✜ ➢ ➭❅➱ θ ✰ l(t), ý t r☞✍☞✢✧✢ ②✖➐✖➑✖✜ ⑩ ➒✖✛✁➓✮ ✍✖✳✁✆➉➥s✖✮➒➤ θ, ↔❲➥s✖✮❼ ❇ θ, ❵✖➂s ✍✖✛✖➱✁✝✁✞❏✁❳✜ ❻ áâ✁❧✖Ð✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛✖✜➄❂✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛◆⑧✁✟✖➫◆Õ✖➐◆➑✖♣➲å, ❅✁➡✖✯✂❏ Ð✁✟✖✍✁➒✖✛✁➓✖➘, ý Ü t ❧ ❏ Ð✖➐✖➑✖➘, ❘✖●✈✁✠✜ ✡☞☛✍✌✏✎✏✑✏✒ ✓Þ✁✔: ê ä✖➵✖Û s ➐ ✮ (0, +∞)(⑨ ô❲✦✚✢✖✳✖②✖✹✖ö, ✩ S ✰Û , ✕ ➑✖✘ 0), ❻➘ S ✰ ➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r, ❵✁✖✿✰ò✖➐✖➑✖r✖✜ ➽ ❧✖Ð✖➐✖➑✖✍✁r✁↔➲í✁↕, ⑥ ✳✖②✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò ï✁ð✖✍✖r vi , ❂✁✮✁✗✖✍✖✳✁✆✁ò✖➐✖➑✖✍✖r vj : 1. ❂ ⑩☞s (vi , vj ) ✮, fi,j < ci,j , ✃➵ vj ➐☞➑ (+vi , l(vj ))✜ ❻❺ l(vj ) = min{l(vi), ci,j − fi,j}✜ ❻➘✖q✖r vj þ✖✘✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r✖✜ 2. ❂ ⑩✖s (vj , vi) ✮,fj,i > 0, ✃➵ vj ➐✖➑ (−vi , l(vj ))✜ ❻❺ l(vj ) = min{l(vi), fj,i}✜ ❻➘✖q✖r vj þ✖✘✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r✖✜ ✓✁✘✔: vi þ✖✘✑➯✚➐✖➑✑➯✓ï✁ð✖♣✖✍✖q✖r, ⑩ ➐✖➑✁✹✖⑨✾✳✁✙✻✜ ⑧✁✚✖✢✖✳✁✛, ✳✁ö✖Ü t ì➐✖➑, ➦ ➸✓❧✖Ð✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓ Q, ✭ ✆✖✢✁✜✁✛✖✜ ❂✝❪ì➐✖➑✖✍✖q✖r✿ ➯✓ï✁ð ♣ , ✷✖➐✖➑✖♣✁å✭ ✆ ❏✹✖❧✖➘, ✃❘✖●✖✗✁❲, ❻➘✖✍✖✓✁✆✖✛✖â✰✩✖➋✖✛✖✜ ✓✣✢✔: ➽ Ü t ➁✣✤✣✥✣✦✣✧✣★✣✩✣✪✣✫✣✬✣✭,“➣✯✮✰✂✣☎” ✱✣✲✣✳✣✴✣✵ Q, ✶✣✷✣✸✣✹✣✲✣✺ ✻✁✼✁✽✁✾ θ = l(t), ✿✁❀ t ★✁✩✁❁✁✫✁✬✁✭✺ ✻ : f 0 i,j =    fi,j + θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❄❅✮❇❆ fi,j − θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❈❅✮❇❆ fi,j , ✤✁✥ ❉✁❊★✁❋✁●✴✁✹✁✲❅❍❇■ G, ❏ ❊ ✴ (❊ G) ❑ ❊✁▲✁▼✬✁✭✁◆✁❖✺ P 2. ✶✬◗✭◗❘◗❙◗❚ 10–4 ❯◗❱❲❍❳■★◗❨◗❩✴, ❬◗✱◗✲❨◗❭◗❪✺ ❆◗❫◗★◗❴◗❵❃ (ci,j , fi,j )✺ ❚ 10–4 ❛ : (✪ )❜ ✬✁✭✁◆✁❖ (1). ❝✁❞✁❡ S ✬✁❢ (0, +∞) (2). ❏ S ▲●✁❣✁❤, ✐ S ✧ ✲✁❥★✁❆ (s, v1) ❢ , fs,1 = cs,1 = 8 ❦ v1 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺ ❆ (s, v2) ❢ ,fs,2 < cs,2, ❦ v2 ★✁✬✁✭✁♦ (+s, l(v2)), ✤❅♣,l(v2) = min{l(s),(cs,2 − fs,2)} =