8 第十章网络的流 mim{+oo,2}=2.S成为已检在过的点。 (3.取已标记而未检查的点2，检查2，在边(m,2)上，，2=4>0，故对1标记 (-2,(m),并且有：l(m）=min{l(2,f五2}=min2,4}=2.在边(，2)上，f,2=0,故 的得不到标记。在边(2，)上，f24=24=9,不满足标记条件，4也得不到标记。2也 成为已检查过的点 (4).检查1，在边（心1，均）上，方.3=4<c13=9,给标记为(+1，()》，其中， 1()-minl(,(c3-fi.3)}=min{25}-2. (⑤).检在，在边(4，)上f3=1>0,故给标记为(-，(》，其中1() min(3,f4,3}=min{2,1}=1.在边(，t)上，f,t=c3,t=5,t不能标记. (6).检查4，在边(4，t)上ft=8<c4t=10,故t点得到标记(+4，l(t),其中 minl(a）,(G -.》=mim1,2}=1,因汇t得到标记进行下一步调整过程 (二).调整过程 (1).“反向追踪”，按顶点的第一个标记找到一条增流链Q=s2144,如图10-4双 线所示。 (②).按6-1(-1调增流上各边的流量 f2=f.2+0=5+1=6 fi3=f1.3+0=4+1=5 fie=fa+-8+1-9 f12=i2-9-4-1=3 f{3=f3-0=1-1=0 其它边上流量保持不变.调整后得到网络图上一个新的可行流，如图10-5所示： 图10-5 在图10-5中重复上述标记过程，寻找增流链.开始给S标记(0，+∞，检查5，给 标记(+s,1),检查2，给1标记(-2,1)，检查1，给购标记(+1,1)，检察购，边(4，) 上3=0，边(，)上，1=,均不符合标记条件标号过程无法进行，算法结束。故 图10-5给出的可行流即为该网络的最大流，最大流量为： f=f,1+f,2=f3.t+f4,t=14. 现已标记的顶点集合={s,1,2,,未标记的顶点集合了1={4，，故有 K(,了)={2,4(，t}是该网络的最小割它的容量c(,)-14 由此可见，最小割的容量大小影响最大流的流值.最小割是网络中能力最紧张的那些 边.为提高最大流值，必须增大割中边的容量.反过来，如果最小割中边的能力被降低，就 会使最大流的流值降低。8 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① min{+∞, 2} = 2✺ S ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (3). ④ ③✰✬✣✭✣⑤✣⑥✣❣✣❤✣★✣✧ v2, ❣✣❤ v2, ⑦❆ (v1, v2) ❢ ,f1,2 = 4 > 0, ❦✣❏ v1 ✬✣✭ (−v2, l(v1)), ❬✁⑧✁⑨:l(v1) = min{l(v2), f1,2} = min{2, 4} = 2✺⑩⑦❆ (v3, v2) ❢ ,f3,2 = 0, ❦ v3 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺⑩⑦❆ (v2, v4) ❢ , f2,4 = c2,4 = 9, ♠✁❶✁❷✬✁✭✁❸✁❹,v4 ❺✁❧✁♠✁♥✬✁✭✺ v2 ❺ ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (4). ❣✣❤ v1, ⑦❆ (v1, v3) ❢ , f1,3 = 4 < c1,3 = 9, ❞ v3 ✬✣✭✣♦ (+v1, l(v3)), ✤✯♣, l(v3) = min{l(v1),(c1,3 − f1,3)} = min{2, 5} = 2✺ (5). ❣✁❤ v3, ⑦❆ (v4, v3) ❢ ,f4,3 = 1 > 0, ❦✁❞ v4 ✬✁✭✁♦ (−v3, l(v4)), ✤❅♣ l(v4) = min{l(v3), f4,3} = min{2, 1} = 1✺⑩⑦❆ (v3,t) ❢ ,f3,t = c3,t = 5,t ♠✁❻✬✁✭✺ (6). ❣✣❤ v4, ⑦❆ (v4,t) ❢ ,f4,t = 8 < c4,t = 10, ❦ t ✧❧✣♥✬✣✭ (+v4, l(t)), ✤✯♣ l(t) = min{l(v4),(c4,t − f4,t)} = min{1, 2} = 1, ❼✁❀ t ❧✁♥✬✁✭, ▲●✁❽✁✪✁❾✼✁✽◆✁❖✺ (❿)❜⑩➀✁➁✁➂✁➃ (1). “➄ ✮❇➅✁➆”, ❉✦✁✧✁★✁✩✁✪✁✫✁✬✁✭✱♥✪✁❸✳✁✴✁✵ Q = sv2v1v3v4t, ➇ ❚ 10–4 ✷ ✸✁❯✁❱✁✺ (2). ❉ θ = l(t) = 1 ✼✁✽✳✁✴✁✵❢✁➈✁❆✁★✴✾ : f 0 s,2 = fs,2 + θ = 5 + 1 = 6 f 0 1,3 = f1,3 + θ = 4 + 1 = 5 f 0 4,t = f4,t + θ = 8 + 1 = 9 f 0 1,2 = f1,2 − θ = 4 − 1 = 3 f 0 4,3 = f4,3 − θ = 1 − 1 = 0 ✤✁✥✁❆✁❢✴✾✁➉✁➊♠✁➋✺ ✼✁✽❈❧✁♥ ❍❇■❚✁❢✁✪✁✫❊★✁❋✁●✴, ➇ ❚ 10-5 ❯✁❱: ❚ 10–5 ⑦ ❚ 10–5 ♣❑✁➌❢✁➍✁✬✁✭✁◆✁❖, ➎✁✱✁✳✁✴✁✵✁✺⑩➏✁➐✁❞ S ✬✁✭ (0, +∞), ❣✁❤ S, ❞ v2 ✬✁✭ (+s, 1), ❣✁❤ v2, ❞ v1 ✬✁✭ (−v2, 1), ❣✁❤ v1, ❞ v3 ✬✁✭ (+v1, 1), ❣✁➑ v3, ❆ (v4, v3) ❢ f4,3 = 0, ❆ (v3,t) ❢ , f3,t = c3,t, ➒♠✁➓✁➔✬✁✭✁❸✁❹, ✬✁→✁◆✁❖✁➣✁❘▲● , ↔❘✁↕✁➙✺➛❦ ❚ 10–5 ❞✁✲ ★✁❋✁●✴✁✿♦✁➜❍❇■★✁❨✁❩✴✁✺ ❨✁❩✴✾♦ : v(f ∗ ) = fs,1 + fs,2 = f3,t + f4,t = 14. ➝ ③➞✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V1 = {s, v1, v2, v3}, ⑥➟✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V 1 = {v4,t}, ❦➟⑨ K(V1, V 1) = {(v2, v4),(v3,t)} ❃➜ ❍❇■★✁❨✁❭✁❪, ✥✁★✁➡✾ c(V1, V 1) = 14✺ ➢✄➤❋➦➥, ❨➦❭➦❪➦★➦➡✾❩➦❭➦➧➦➨➦❨➦❩✴ ★✴➦➩✁✺ ❨✁❭➦❪❃➫❍❇■♣❻✁➭❨✁➯➦➲✁★➦➳✁➵ ❆ ✺ ♦✁➸✁➺✁❨✁❩✴✁➩, ➻✁➼✁✳❩✁❪❅♣❇❆✁★✁➡✾ ✺➽➄◆✁➾, ➇✁➚❨✁❭✁❪❅♣❇❆✁★❻✁➭✁➪✁➶✁➹, ➘ ➴✁➷❨✁❩✴ ★✴✁➩➶✁➹✺