文登学校 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学二试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设y=(1+snx),则d -nx 【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导 【详解】方法一:y=(1+sinx)2=ex),于是 y'=erIn(+sinx).[n(1+sin x)+x COS x + sin x 从而d=y(x)dkx=-mb 方法二:两边取对数,hy=xh(1+snx),对x求导,得 X cosx y=h(1+sin x)+ 1+sn x 于是y=(1+sinx)2[ln(1+snx)+x c0Sx1,故 y(r dx=-tdx 【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函 数,而直接运用相应的求导公式 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P55【例2.15】 +x)2 (2)曲线y= 的斜渐近线方程为y=x+ 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=mf()=m(+x) x√x b=lm[(x)-ax」=lm +x)2-x23 于是所求斜渐近线方程为y=x+ 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→∞时,极限 a=lm(不存在,则应进一步讨论x→+或x→∞的情形,即在右或左侧是否存文登学校 1 以下题型均在 05 年考研文登数学辅导班中讲过 2005 年数学二试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 x y = (1+ sin x) ，则 x= dy = −dx . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： x y = (1+ sin x) = x ln(1 sin x) e + ，于是 ] 1 sin cos [ln(1 sin ) ln(1 sin ) x x y e x x x x +  =  + +  + ， 从而 x= dy = y ( )dx = −dx. 方法二： 两边取对数， ln y = x ln(1+ sin x) ，对 x 求导，得 x x x y x y 1 sin cos ln(1 sin ) 1 +  = + + ， 于是 ] 1 sin cos (1 sin ) [ln(1 sin ) x x y x x x x +  = +  + +  ，故 x= dy = y ( )dx = −dx. 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函 数，而直接运用相应的求导公式. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例 2.15】 （2） 曲线 x x y 2 3 (1+ ) = 的斜渐近线方程为 2 3 y = x + . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 1, (1 ) lim ( ) lim 2 3 = + = →+ →+ x x x x f x x x   2 (1 ) 3 lim ( ) lim 2 3 2 3 = + − = − = →+ →+ x x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 2 3 y = x + 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存