文登学校 在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑x→+∞的情形 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (3) 【分析】作三角代换求积分即可 【详解】令x=snt,则 xdx sin t cos t (2-x2)1-x21(2-sn21)cost d cost =-arctan(cos t) 1+cos t 【评注】本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P130【例454】 (4)微分方程xy+2y=xhx满足y(1)=-的解为y3+ x 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=e)x))+] 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 y+-y=Inx 于是通解为y=c血xck+门=订xhx+门 =-xInx--x+C 由y(1)=-a得C=0,故所求解为y=x 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得 xy=「x2 In xdr 1 再代入初始条件即可得所求解为y+hx-x 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154文登学校 2 在斜渐近线，本题定义域为 x>0，所以只考虑 x → + 的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （3） = − −  1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx 4  . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令 x = sin t ，则 = − −  1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx  − 2 0 2 (2 sin ) cos sin cos  dt t t t t = . 4 arctan(cos ) 1 cos cos 2 0 2 0 2    = − = + −  t t d t 【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例 4.54】 （4） 微分方程 xy  + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y  + P(x) y = Q(x) 的通解公式：  +   = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2  + = ， 于是通解为   + =  +    = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C d x x d x x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2  + = ，即 [x y] x ln x 2 2  = ，两边积分得 x y = x xdx = x x − x + C  2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154