15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后,在求解定解问题时,往往还需要考虑两个问题. 坐标架如何放置,包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择,以最大限度地 利用问题中的对称性,使求解过程得到充分的简化 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开 坐标架的不同放置,数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换 在这些线性变换下, Laplace算符的形式如何变化,上一节已经作出了原则的回 答: Laplace算符的形式具有不变性 ★ Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置,涉及到的是平移变换, 容易看出 因此, Laplace算符在平移变换下是不变的,即 An2+a2、 02a2a2 ★ Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向,涉及到坐标系之间的正交变换 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x,y,2}和{a,y,2} a12a13 所谓正交变换,指的是变换矩阵 A=a21a22a23 a31a32a33 满足正交关系 aikaik§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 第 7 页 §15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 选定坐标系以后，在求解定解问题时，往往还需要考虑两个问题． • 坐标架如何放置，包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择，以最大限度地 利用问题中的对称性，使求解过程得到充分的简化 • 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开． 坐标架的不同放置，数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换． 在这些线性变换下，Laplace算符的形式如何变化，上一节已经作出了原则的回 答：Laplace算符的形式具有不变性． F Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置，涉及到的是平移变换， x 0 = x − a, y 0 = y − b, z0 = z − c. 容易看出， ∂ 2 ∂x02 = ∂ 2 ∂x2 , ∂ 2 ∂y02 = ∂ 2 ∂y2 , ∂ 2 ∂z02 = ∂ 2 ∂z2 . 因此，Laplace算符在平移变换下是不变的，即 ∂ 2 ∂x02 + ∂ 2 ∂y02 + ∂ 2 ∂z02 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 . F Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向，涉及到坐标系之间的正交变换． 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x, y, z}和{x 0 , y0 , z0 }，   x y z   =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     x 0 y 0 z 0   . 所谓正交变换，指的是变换矩阵 A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   满足正交关系 X k=1,2,3 aikajk = X k=1,2,3 akiakj = δij