152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第6页 例7柱坐标系, a/ auu d du= or or dr n A dz+a02 d6∧dz∧dr dz a dr a de d"d a2u a2m 因此, Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 1a2a2 例8球坐标系 dr∧d∧dd d∧d∧dr+ lo a dr ade = r2 Or(ror)+r2 sin ae sin 80)+rasin 0 002 所以, Laplace算符在球坐标系下的表达式是 0(2 72 ar ar 0§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 6 页 例7 柱坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ dr ∧ dθ ∧ dz + 1 r ∂ 2u ∂θ2 dθ ∧ dz ∧ dr + r ∂ 2u ∂z2 dz ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 . 因此，Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r ∂ ∂r µ r ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + ∂ 2 ∂z2 . 例8 球坐标系， d ∗ du = ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ sin θdr ∧ dθ ∧ dφ + ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂ 2u ∂φ2 dφ ∧ dr ∧ dθ, ∗ d ∗ du = 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 . 所以，Laplace算符在球坐标系下的表达式是 ∇ 2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂ ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂ ∂θ ¶ + 1 r 2sin2 θ ∂ 2 ∂φ2