152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 “*”算符是一个线性变换,它把p次微分形式变换为相应的n-p次微分形式 √ det g1,dr 其中(i,D)构成(1,2,3)的偶排列,detG表示矩阵G的行列式值 运算法则4 et gdr∧dx-∧dx (vdet GdrA"Adx)=1 注意√ det gdr1dx2dx3正好是通常的三维空间的体积元 例5柱坐标系,detG=r2, d6∧dz+ dz∧dr+r-dr∧d6. 例6球坐标系,detG=r4sin26, sin6ad6∧dφ+ sin b-do∧dr+ d是旋度curl的协变微分形式,这可以从它作用在一次微分形式a1dx1+a2dx2+ a3dx3的结果 d(aldr+ a2d r-+adr") r2 ar3 看出 d*是散度div的协变微分形式 "d"(adz+a2dz2+adz) 1a/√aetG 正交曲线坐标系中的 Laplace算符d·d是 Laplace算符V2≡V.V≡ div grad的协变微 分形式§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 5 页 “∗”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 ∗ dx i = √ det G gii dx I , ∗ dx I = gii √ det G dx i , 其中(i, I)构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4 ∗ 1 = √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 , ∗ ( √ det Gdx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 ) = 1. 注意 √ det Gdx 1dx 2dx 3正好是通常的三维空间的体积元． 例5 柱坐标系，det G = r 2， ∗ du = r ∂u ∂r dθ ∧ dz + 1 r ∂u ∂θ dz ∧ dr + r ∂u ∂z dr ∧ dθ. 例6 球坐标系，det G = r 4 sin2 θ， ∗ du = r 2 sin θ ∂u ∂r dθ ∧ dφ + sin θ ∂u ∂θ dφ ∧ dr + 1 sin θ ∂u ∂φdr ∧ dθ. ∗d是旋度curl的协变微分形式，这可以从它作用在一次微分形式a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3的结果 ∗ d(a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = µ ∂a3 ∂x2 − ∂a2 ∂x3 ¶ g11 √ det G dx 1 + µ ∂a1 ∂x3 − ∂a3 ∂x1 ¶ g22 √ det G dx 2 + µ ∂a2 ∂x1 − ∂a1 ∂x2 ¶ g33 √ det G dx 3 看出． ∗d ∗是散度div的协变微分形式， ∗ d ∗ (a1dx 1 + a2dx 2 + a3dx 3 ) = 1 √ det G ∂ ∂x1 ³√ det G g11 a1 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x2 ³√ det G g22 a2 ´ + 1 √ det G ∂ ∂x3 ³√ det G g33 a3 ´ . 正交曲线坐标系中的Laplace算符 ∗d ∗d是Laplace算符∇2 ≡ ∇ · ∇ ≡ div grad的协变微 分形式．