152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 第4页 §152正交曲面坐标系中的 Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中 Laplace算符的一般形式 这种方法的优点在于它的协变性,即可以脱离开坐标系的具体定义,而得到最普遍 的表达式 作为最初步的介绍,略去数学上的严格定义,只给出有关的运算规则 外微分法则介绍外微分算符、*算符及楔积运算,以及微分形式的概念 外微分算符d.它作用在(标量)函数f上 得到的d∫称为一次微分形式(简称一次形式) 例3对于柱坐标系, 例4对于球坐标系 dr+ode 算法则1外微分算符d在不同坐标系中的表达式 af 次微分形式df给出的正是梯度grad∫≡Ⅴ∫的协变微分形式,{dx2,i=1,2,3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√gndr2,i=1,2,3) 外微分算符d可以作用在p次微分形式a=∑andr1上,得到p+1)次微分形式: dn=d(∑dr)=∑∑ aidz a dz dx≡dx∧dx2∧…Ada2 运算∧称为楔积 运算法则2 dx Adx=-dxA dx 因此 dx2∧d 运算法则3」设a为次微分形式,月,7是q次微分形式 d(+)=dB+d?, d(a∧B)=(da)AB+(-)a∧(dB), d(da)=0.§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 第 4 页 §15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 通过外微分法介绍正交曲线坐标系中Laplace算符的一般形式． 这种方法的优点在于它的协变性，即可以脱离开坐标系的具体定义，而得到最普遍 的表达式． 作为最初步的介绍，略去数学上的严格定义，只给出有关的运算规则． 外微分法则 介绍外微分算符、∗算符及楔积运算，以及微分形式的概念． 外微分算符d．它作用在(标量)函数f上， d : f 7→ df = X ∂f ∂xi dx i , 得到的df称为一次微分形式(简称一次形式)． 例3 对于柱坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂z dz. 例4 对于球坐标系， du = ∂u ∂r dr + ∂u ∂θ dθ + ∂u ∂φdφ. 运算法则1 外微分算符d在不同坐标系中的表达式， df = X i ∂f ∂xi dx i = X i ∂f ∂yi dy i . 一次微分形式df给出的正是梯度grad f ≡ ∇f的协变微分形式, {dx i , i = 1, 2, 3}构 成一组正交基(正交标准基应该是√giidx i , i = 1, 2, 3)． 外微分算符d可以作用在p次微分形式α = PαIdx I 上，得到(p + 1)次微分形式： dα = d³X I αIdx I ´ = X i X I ∂αI ∂xi dx i ∧ dx I , 其中 dx I ≡ dx i1 ∧ dx i2 ∧ · · · ∧ dx ip . 运算∧称为楔积． 运算法则2 dx i ∧ dx j = −dx j ∧ dx i , 因此， dx i ∧ dx i = 0. 运算法则3 设α为p次微分形式，β, γ是q次微分形式， d(β + γ) = dβ + dγ, d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−) pα ∧ (dβ), d(dα) = 0