解:(1)diag(1,A+1,(X+1)(X-1),(A+1)2(A-1)2,0) (2)diag(1,A-2,(A-2)2(+2),、(X-2)3(+2)3) (3)diag(A-1,(X-1)2(A+2),(-1)3(A+2)2,0,0) 3.求下列矩阵的正规形: A(+1)2 0 A2(X-1)0 0 0 0x2+2入0 0x3=2X 0 0 0 0 22+2入 入+1 0 0 解:(1)diag(1,A(λ+1),A(入+1)2(A-1),A2(A+1)2(A-1) (2)diag(1,(12-4),A(2-4),12(2-4) (3)diag(1,A-1,(A-1)(X+1),0). (4)diag(1,1,2-4,0) 4.求下列矩阵的不变因子,行列式因子与初等因子 2-300 151-2 022-3 解:(1)不变因子:1,1,A2(A-1),行列式因子:1,1,12(A-1),初等因子A2,A-1 (2)不变因子:1,A,(A+1),行列式因子:1,A,A2(+1),初等因子:A,A,A+1 (3)不变因子:1,A,…,A,A(A-n),行列式因子:1,A,A2,……,1-2,A-4(-n),初等因子:A,……,λ (4)不变因子:1,1,1,(X+1)4,行列式因子:1,1,1,(A+1)4,初等因子:(A+1)4 5.设λ为n阶矩阵A的一个特征值,证明:矩阵A的属于特征值λ的初等因子的个数等于 (oE-A 证明:设d1(),…,dn(从)为A的不变因子.如A的属于特征值λo的初等因子的个数为r,则(3) λ − 1,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , λ + 2,(λ + 2)2 ; r = 3, n = 5. P: (1) diag(1, λ + 1,(λ + 1)(λ − 1),(λ + 1)2 (λ − 1)2 , 0). (2) diag(1, λ − 2,(λ − 2)2 (λ + 2),(λ − 2)3 (λ + 2)3 ). (3) diag(λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 2),(λ − 1)3 (λ + 2)2 , 0, 0). 3. iu!"X[: (1)   0 λ(λ + 1)2 0 0 λ 2 (λ − 1) 0 0 0 0 0 0 λ 2 − 1 0 0 λ(λ + 1)2 0   ; (2)   λ 2 − 4 0 0 0 0 λ 2 + 2λ 0 0 0 0 λ 3 − 2λ 2 0 0 0 0 λ 3 − 4λ   ; (3)   λ 2 + 2λ − 3 λ 2 + λ − 2 0 0 2λ 2 + 2λ − 4 2λ 2 + λ − 3 0 0 0 0 λ + 1 λ + 2 0 0 λ 2 − 1 λ 2 + λ − 2   ; (4)   λ 2 − λ − 2 0 λ 3 + λ 2 − λ − 1 0 λ 2 − 4 0 λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 0 0 λ 2 + 2λ 0 λ 2 + 6λ − 2 0 λ 2 + λ − 2 0 λ 2 + 5λ − 7   . P: (1) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 (λ − 1), λ2 (λ + 1)2 (λ − 1)). (2) diag(1, λ(λ 2 − 4), λ(λ 2 − 4), λ2 (λ 2 − 4)). (3) diag(1, λ − 1,(λ − 1)(λ + 1), 0). (4) diag(1, 1, λ2 − 4, 0). 4. iu!" , 3u : (1)   4 2 −5 6 4 −9 5 3 −7  ; (2)   −2 1 3 6 −3 −9 4 −2 −6  ; (3)   1 1 1 · · · 1 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1   ; (4)   2 −3 0 0 3 −4 0 0 1 5 1 −2 0 2 2 −3   . P: (1) : 1, 1, λ2 (λ − 1), 3u : 1, 1, λ2 (λ − 1), : λ 2 , λ − 1. (2) : 1, λ, λ(λ + 1), 3u : 1, λ, λ2 (λ + 1), : λ, λ, λ + 1. (3) : 1, λ, · · · , λ | {z } n−2 ￾ , λ(λ−n), 3u : 1, λ, λ2 , · · · , λn−2 , λn−1 (λ−n), : λ, · · · , λ | {z } n−1 ￾ , λ − n. (4) : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , 3u : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , : (λ + 1)4 . 5. λ0 l n
!" A jk, 01: !" A fL λ0 k(L n − rank(λ0E − A). NO: d1(λ), · · · , dn(λ) l A  . 9 A fL λ0 k(l r, = λ − λ0 | dn(λ), · · · , λ − λ0 | dn−r+1(λ), λ − λ0 - dn−r(λ), · · · , λ − λ0 - d1(λ). · 6 ·