、QR分解 1.定义:如果实(复)矩阵A可化为正交(酉)矩阵Q与实(复)上三 角矩阵R的乘积,即A=QR,则称上式为A的QR分解 2.定理4:设A是n阶的非奇异矩阵,则存在正交(酉)矩阵Q与实(复) 上三角矩阵R使得A=QR,且除去相差一个对角元素的绝对值(模) 全为1的对角因子外,上述分解唯一。 证明|设A记为A=[a1a2…an]A非奇异→a1,a2;…,an线性 无关 采用Gram- schmidt正交化方法将它们正交化,可得 2101 b=a3-k3b1-k32b2 →(q;,q;)=8 bn=an-knjbi-kn2b2 . b ←-(a;,b;)=0三、 QR 分解 1. 定义：如果实（复）矩阵 A 可化为正交（酉）矩阵 Q 与实（复）上三 角矩阵 R 的乘积，即 A QR = ，则称上式为 A 的 QR 分解。 2. 定理 4：设 A 是 n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q 与实（复） 上三角矩阵 R 使得 A QR = ，且除去相差一个对角元素的绝对值（模） 全为 1 的对角因子外，上述分解唯一。 [证明]：设 A 记为 A a a a = 1 2 n    ，A 非奇异 1 2 n → a ,a , ,a 线性 无关 采用 Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得 1 1 1 1 1 2 2 2 21 1 2 2 3 3 31 1 32 2 i j ij n n n n1 1 n2 2 nn 1 n 1 n n b b a q b b b a k b q b b a k b k b (q ,q ) b b a k b k b k b q b − −  = =    = − =    = − − → =      = − − − − =  ( ) ( ) ( ) i j ij i j j j a ,a k a ,b 0 b ,b =  =