§62估计量的评价标准 621无偏估计 定义6,2设6=b(x1x2,x)是参数O的估计量,如果 (6.3) 则称θ是θ的无偏估计(量)。 如果有O的一列估计n=6(X1,X2…,X)(n=12,满足关系式 lim EG)=0 (64) 则称θ是θ的渐近无偏估计(量)。 个估计量6如果不是无偏估计量,就称这个估计量是有偏的,且称E()-0 估计量6的偏差。无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准,而且在许多场合是 合理的,必要的。然而,有时一个参数的无偏估计可能不存在。例如,设总体X~ N(,,则就没有无偏估计。有时无偏估计可能明显不合理。例如,设X是来 自泊松总体P(a)的一个样本,可以证明(-2)是e2的无偏估计,但这个无偏估 计明显不合理,因为当X1取奇数值时,估计值为负数,用一个负数估计e24明 显不合理,有时对同一个参数可以有而后内多个无偏估计,如上例。这些说明仅 有无偏性要求是不够的 于是,人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小 表明该估计量的取值(即估计值)围绕着待估参数的波动就越小,也就是更为理 想的估计量。为此,引入最小方差无偏估计 622小方差无偏估计 定义6.3设和62均为O的无偏估计量,若对任意样本容量n有 (e,) <D(e) 65) 则称θ比θ2有效。如果存在θ的一个无偏估计量O,使对θ的任意无偏估计量θ, 都有 66)§ 6.2 估计量的评价标准 6.2.1 无偏估计 定义 6.2 设θ ˆ = θ ˆ(X1, X 2 ,..., X n )是参数θ 的估计量，如果 (θ ) = θ E ˆ （6.3） 则称θ ˆ是θ 的无偏估计（量）。 如果有θ 的一列估计 ( ) n n X X X n , ..., ˆ ˆ θ = θ 1 2, (n = 1,2,...), 满足关系式 (θ ) = θ →∞ n n E ˆ lim （6.4） 则称θ ˆ n 是θ 的渐近无偏估计（量）。 一个估计量θ ˆ如果不是无偏估计量，就称这个估计量是有偏的，且称 (θ )−θ E ˆ 估计量 的偏差。无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准，而且在许多场合是 合理的，必要的。然而，有时一个参数的无偏估计可能不存在。例如，设总体 θ ˆ X ～ N(θ,1),则 θ 就没有无偏估计。有时无偏估计可能明显不合理。例如，设 X1是来 自泊松总体 P(λ)的一个样本，可以证明( ) 1 2 X − 是 的无偏估计，但这个无偏估 计明显不合理，因为当 X 取奇数值时，估计值为负数，用一个负数估计 明 显不合理，有时对同一个参数可以有而后内多个无偏估计，如上例。这些说明仅 有无偏性要求是不够的。 −2λ e 1 −2λ e 于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小。 表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是更为理 想的估计量。为此，引入最小方差无偏估计。 6.2.2 小方差无偏估计 定义 6.3 设θ ˆ 1和θ ˆ 2均为θ 的无偏估计量，若对任意样本容量n有 ( ) 1 ˆ D θ ( ) 2 ˆ < D θ ( ) 6.5 则称θ ˆ 1 比θ ˆ 2 有效。如果存在θ 的一个无偏估计量θ ˆ 0 ，使对θ 的任意无偏估计量 ， 都有 θ ˆ (θ ) (θ ) ˆ ˆ D 0 ≤ D ( ) 6.6 1