i)若{4n}c并且A个,则UA∈C(对单调增加的集列的并运算封闭 设C是一个非空集类.类似于-代数的情形,存在一个包含C的最小λ类,称之 为由C生成的类,记为A(C) 定理10集类丌是σ一代数当且仅当丁既是丌类又是类 证明必要性是显然的.往证充分性因为丌既是丌类又是λ类,因此丌对余运算 和有限交运算封闭.于是由 De morgan公式推出对有限并运算封闭.设{An}是中 的一列集。令Bn=∪4,n21.则{Bn}<并且Bn↑.由于丌是类,因此 UA,=UBn∈.故对可数并运算封闭所以是一个a-代数■ 定理11设C是一个丌类则A(C)=(C) 推论12若C是一个丌类,是一个类并且Cc丌,则σ(C)c丌 证明由定理1知道G(C)=A(C).即σ(C)是包含C的最小类.而是一个包 含C的类,因此a(C)c 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法.设C是一个丌类,若我们要 证明a(C)中所有的集都具有某种性质P令 T={A:A具有性质P 然后证明(i)Cc.(i)是一个类.于是由推论12知a(C)c.即σ(C)中所 有的集都具有性质P 小结本节介绍的环,代数和a-代数等是测度论中常见的几种集类它们的运算封 闭性一个比一个强.σ-代数是最重要的一种集类任何一个非空集类C可以生成一个σ 代数,即G(C),它是包含C的最小a-代数.利用(C)的性质,得到测度论中常用的 种证明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明 习题习题一,第18题一第28题27 (iii).若{An } ⊂ F 并且 ↑, An 则 ∈C ∞ = U n 1 An (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于σ − 代数的情形, 存在一个包含C 的最小 λ 类, 称之 为由C 生成的λ 类, 记为λ(C ). 定理 10 集类F 是σ − 代数当且仅当F 既是π 类又是λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是 λ 类, 因此F 对余运算 和有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设{ } An 是F 中 的一列集 . 令 , 1. 1 = ≥ = B A n n i n U i 则 {Bn } ⊂ F 并 且 ↑ . Bn 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 = ∈ ∞ = ∞ = U U 1 n 1 n n An B F . 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个σ − 代数. 定理 11 设C 是一个π 类. 则λ(C ) = σ (C ). 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ 类并且C ⊂ F , 则σ (C ) ⊂ F . 证明 由定理 11 知道σ (C ) = λ(C ). 即σ (C ) 是包含C 的最小λ 类. 而F 是一个包 含C 的λ 类, 因此σ (C ) ⊂ F . 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要 证明σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ F . (ii) F 是一个λ 类. 于是由推论 12 知σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所 有的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封 闭性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ - 代数, 即σ (C ) , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用σ (C ) 的性质, 得到测度论中常用的一 种证明方法即所谓 好集原理 , 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18 题 第 28 题